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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 23.04.2010 | | Autor: | bAbUm |
Guten Tag.
Irgendwie habe ich ein Problem die Basis der geg. Vektoren zu berechnen. Mein Script und das Web helfen mir auch gerade nicht mehr weiter.
zb habe ich folgende Vektoren gegeben:
a= (1,1,-1) ; b=(1,-1,1); c=(-1,1,1) des [mm] R^3
[/mm]
Aufgabe: Zeige das die vektoren a,b,c eine Basis des [mm] R^3 [/mm] bilden und berechne die Koordinate des vektor v=(1,-7,3)
Wie zeige ich das jetzt? Und was mache ich dann mit der dem Vektor v?
Vielen Dank im Voraus!!!
gruß babum
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Hallo,
> Irgendwie habe ich ein Problem die Basis der geg. Vektoren
> zu berechnen. Mein Script und das Web helfen mir auch
> gerade nicht mehr weiter.
> zb habe ich folgende Vektoren gegeben:
> a= (1,1,-1) ; b=(1,-1,1); c=(-1,1,1) des [mm]R^3[/mm]
>
> Aufgabe: Zeige das die vektoren a,b,c eine Basis des [mm]R^3[/mm]
> bilden und berechne die Koordinate des vektor v=(1,-7,3)
> Wie zeige ich das jetzt?
Was ist eine Basis eines Vektorraums? --> Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Wenn du also zeigen sollst, dass (a,b,c) eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] bilden, musst du zeigen:
- (a,b,c) linear unabhängig, d.h. falls für [mm] \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\in\IR [/mm] gilt:
[mm] $\lambda_{1}*a [/mm] + [mm] \lambda_{2}*b [/mm] + [mm] \lambda_{3}*c [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}$ [/mm] (*)
folgt [mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0$. (Um dies zu zeigen, musst du das obige LGS äquivalent umformen)
- (a,b,c) Erzeugendensystem, d.h. jeder Vektor aus [mm] \IR^{3} [/mm] lässt sich als Linearkombination von a,b,c schreiben.
Das wäre die Urschleim-Variante - je nachdem, was ihr schon alles bewiesen habt, kann es einfachere Möglichkeiten geben, zu zeigen, dass (a,b,c) eine Basis ist - schau dazu in deinen Hefter nach!
Und was mache ich dann mit der
> dem Vektor v?
Wenn du einen Vektor v als Koordinatenvektor bzgl. einer Basis (a,b,c) aufschreiben sollst, so musst du zunächst [mm] $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\in\IR$ [/mm] berechnen, so dass
$v = [mm] \lambda_{1}*a [/mm] + [mm] \lambda_{2}*b [/mm] + [mm] \lambda_{3}*c$
[/mm]
gilt. Der Koordinatenvektor von v bzgl. (a,b,c) ist dann [mm] \vektor{\lambda_{1}\\ \lambda_{2}\\ \lambda_{3}}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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