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| Aufgabe | Betrachten Sie für [mm] \vec{x} \in \IR^{6} [/mm] das folgende Gleichungssystem:
[mm] 3x_1 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = -1
[mm] 2x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = -7
[mm] 2x_5 [/mm] + [mm] x_6 [/mm] = 3
[mm] -3x_2 [/mm] + [mm] x_6 [/mm] = 5
a) Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix $A$ und die Inhomogenität [mm] \vec{b} [/mm] des linearen Gleichungssystems der Form [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b}.
[/mm]
b) Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix $A$ und der erweiterten Koeffizientenmatrix [mm] (A|\vec{b}).
[/mm]
c) Geben Sie eine Basis des Kerns der Matrix $A$ an.
d) Wie lautet die allgemeine Lösung des Gleichungssystems? |
a) Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix $A$ und die Inhomogenität [mm] \vec{b} [/mm] des linearen Gleichungssystems der Form [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b}.
[/mm]
[mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & | -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & | -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & | +3 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & | +5 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 }
[/mm]
[mm] x_1,...,x_6 [/mm] bezeichnet die Spalten und hab ich nur zur Hilfe angeschrieben.
Abgesehen von der Spaltenbeschriftung, hat sich die Aufgabe a) mit der oben angeschriebenen Matrix erledigt?
b) Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix $A$ und der erweiterten Koeffizientenmatrix [mm] (A|\vec{b}).
[/mm]
Um den Rang zu bestimmen, hab ich einfach die Spalten der Matrix getauscht und Zeile 3 durch 2 dividiert:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & | -1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & | -7 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 & | +\bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & | +5 \\ x_4 & x_3 & x_5 & x_6 & x_1 & x_2 }
[/mm]
Hier kann man sehen, dass der Rang(A) = 4 ist. Da es nur 4 Zeilen gibt, kann ich $n$ [mm] \in \IR [/mm] Spalten hinzufügen, der Rang wird immer 4 bleiben.
c) Geben Sie eine Basis des Kerns der Matrix $A$ an.
Da [mm] \vec{x} \in \IR^{6} [/mm] und der Rang(A) = 4, ist dim(Kern(A)) = 2
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & | -1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & | -7 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 & | +\bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & | +5 \\ x_4 & x_3 & x_5 & x_6 & x_1 & x_2 }
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = 0
I: [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = -1
II: [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = -7
III: [mm] x_5 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x_6 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
IV: [mm] x_6 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] = 5
I: 0 + [mm] x_4 [/mm] = -1 [mm] \Rightarrow x_4 [/mm] = -1
II: [mm] -x_3 [/mm] + 0 = -7 [mm] \Rightarrow x_3 [/mm] = 7
IV: [mm] x_6 [/mm] - 0 = 5 [mm] \Rightarrow x_6 [/mm] = 5
III: [mm] x_5 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x_6 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \Rightarrow x_5 [/mm] + [mm] \bruch{5}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \Rightarrow x_5 [/mm] = -1
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 7 \\ -1 \\ -1 \\ 5}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] := s, [mm] x_2 [/mm] := t s,t [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] 2x_2 [/mm] + 7 [mm] \Rightarrow x_3 [/mm] = 2t + 7
[mm] x_4 [/mm] = [mm] -3x_1 [/mm] -1 [mm] \Rightarrow x_4 [/mm] = -3s -1
[mm] x_6 [/mm] = 5 + [mm] 2x_2 \Rightarrow x_6 [/mm] = 2t + 5
[mm] x_5 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x_6 \Rightarrow x_5 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(2t [/mm] +5) [mm] \Rightarrow x_5 [/mm] = -t - 1
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 7 \\ -1 \\ -1 \\ 5} [/mm] + [mm] s\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] t\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Somit ist eine Basis:
L [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \\ 2} \}
[/mm]
d) Wie lautet die allgemeine Lösung des Gleichungssystems?
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 7 \\ -1 \\ -1 \\ 5} [/mm] + [mm] s\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] t\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Stimmt meine Rechnung oder hab ich einen Fehler gemacht?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Betrachten Sie für [mm]\vec{x} \in \IR^{6}[/mm] das folgende
> Gleichungssystem:
>
> [mm]3x_1[/mm] + [mm]x_4[/mm] = -1
> [mm]2x_2[/mm] - [mm]x_3[/mm] = -7
> [mm]2x_5[/mm] + [mm]x_6[/mm] = 3
> [mm]-3x_2[/mm] + [mm]x_6[/mm] = 5
>
> a) Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm] und die
> Inhomogenität [mm]\vec{b}[/mm] des linearen Gleichungssystems der
> Form [mm]A\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{b}.[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm] und der
> erweiterten Koeffizientenmatrix [mm](A|\vec{b}).[/mm]
>
> c) Geben Sie eine Basis des Kerns der Matrix [mm]A[/mm] an.
>
> d) Wie lautet die allgemeine Lösung des
> Gleichungssystems?
> a) Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm] und die
> Inhomogenität [mm]\vec{b}[/mm] des linearen Gleichungssystems der
> Form [mm]A\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{b}.[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & | -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & | -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & | +3 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & | +5 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 }[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\pmat{ 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & | -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & | -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & | +3 \\ 0 & \red{-3} & 0 & 0 & 0 & 1 & | +5 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 }[/mm]
>
> [mm]x_1,...,x_6[/mm] bezeichnet die Spalten und hab ich nur zur
> Hilfe angeschrieben.
> Abgesehen von der Spaltenbeschriftung, hat sich die
> Aufgabe a) mit der oben angeschriebenen Matrix erledigt?
Mit der angebrachten Korrektur, ja.
> b) Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm] und der
> erweiterten Koeffizientenmatrix [mm](A|\vec{b}).[/mm]
>
> Um den Rang zu bestimmen, hab ich einfach die Spalten der
> Matrix getauscht und Zeile 3 durch 2 dividiert:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & | -1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & | -7 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 & | +\bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & | +5 \\ x_4 & x_3 & x_5 & x_6 & x_1 & x_2 }[/mm]
>
> Hier kann man sehen, dass der Rang(A) = 4 ist. Da es nur 4
> Zeilen gibt, kann ich [mm]n[/mm] [mm]\in \IR[/mm] Spalten hinzufügen, der
> Rang wird immer 4 bleiben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> c) Geben Sie eine Basis des Kerns der Matrix [mm]A[/mm] an.
>
> Da [mm]\vec{x} \in \IR^{6}[/mm] und der Rang(A) = 4, ist
> dim(Kern(A)) = 2
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & | -1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & | -7 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 & | +\bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & | +5 \\ x_4 & x_3 & x_5 & x_6 & x_1 & x_2 }[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = 0
>
> I: [mm]3x_1[/mm] + [mm]x_4[/mm] = -1
> II: [mm]2x_2[/mm] - [mm]x_3[/mm] = -7
> III: [mm]x_5[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}x_6[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> IV: [mm]x_6[/mm] - [mm]2x_2[/mm] = 5
>
> I: 0 + [mm]x_4[/mm] = -1 [mm]\Rightarrow x_4[/mm] = -1
> II: [mm]-x_3[/mm] + 0 = -7 [mm]\Rightarrow x_3[/mm] = 7
> IV: [mm]x_6[/mm] - 0 = 5 [mm]\Rightarrow x_6[/mm] = 5
>
> III: [mm]x_5[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}x_6[/mm] = [mm]\bruch{3}{2} \Rightarrow x_5[/mm] +
> [mm]\bruch{5}{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2} \Rightarrow x_5[/mm] = -1
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 7 \\ -1 \\ -1 \\ 5}[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] := s, [mm]x_2[/mm] := t s,t [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]x_3[/mm] = [mm]2x_2[/mm] + 7 [mm]\Rightarrow x_3[/mm] = 2t + 7
> [mm]x_4[/mm] = [mm]-3x_1[/mm] -1 [mm]\Rightarrow x_4[/mm] = -3s -1
> [mm]x_6[/mm] = 5 + [mm]2x_2 \Rightarrow x_6[/mm] = 2t + 5
> [mm]x_5[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x_6 \Rightarrow x_5[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}(2t[/mm] +5) [mm]\Rightarrow x_5[/mm] = -t -
> 1
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 7 \\ -1 \\ -1 \\ 5}[/mm] +
> [mm]s\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]t\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \\ 2}[/mm]
Der Vektor
[mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \\ 2}[/mm]
ist kein Element von Kern[mm]\left(A\right)[/mm]
>
> Somit ist eine Basis:
> L [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \\ 2} \}[/mm]
>
>
> d) Wie lautet die allgemeine Lösung des
> Gleichungssystems?
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 7 \\ -1 \\ -1 \\ 5}[/mm] +
> [mm]s\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]t\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
>
> Stimmt meine Rechnung oder hab ich einen Fehler gemacht?
Einen Fehler hast Du gemacht, siehe oben.
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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Immer wieder diese blöden Abschreibfehler...
Somit ist eine Basis:
L $ [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 3} \} [/mm] $
d) Wie lautet die allgemeine Lösung des
Gleichungssystems?
$ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 7 \\ -1 \\ -1 \\ 5} [/mm] $ +
$ [mm] s\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] t\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 3} [/mm] $
Stimmts nun?
Vielen, vielen Dank!!
LG
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Hallo dreamweaver,
> Immer wieder diese blöden Abschreibfehler...
>
> Somit ist eine Basis:
> L [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 3} \}[/mm]
>
>
>
> d) Wie lautet die allgemeine Lösung des
> Gleichungssystems?
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 7 \\ -1 \\ -1 \\ 5}[/mm] +
> [mm]s\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]t\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 3}[/mm]
>
> Stimmts nun?
Ja.
>
> Vielen, vielen Dank!!
>
> LG
Gruss
MathePower
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