Basis des Kerns < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei
[mm] $A=\pmat{ 1 & -2 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1}$
[/mm]
und [mm] $f:\IR^{4}\to\IR^{3},f(x)=Ax$ [/mm] die zugehörige lineare Abbildung.
(a)Bestimmen Sie eine Basis von [mm] $\operatorname{ker}f$ [/mm] und ergänzen Sie diese zu einer Basis $B$ von [mm] $\IR^{4}$.
[/mm]
(b)Bestimmen Sie eine Basis $C$ von [mm] $\IR^{3}$, [/mm] so dass
[mm] ${}_{C}f_{B}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$. [/mm] |
Hallo.
Für die Beantwortung der folgenden Fragen wäre ich sehr dankbar:
Bezüglich Teilaufgabe (a):
1. Leider kann ich die Definition nicht deuten. Wird da die Umkehrfunktion gebildet und die Menge 0 für x eingesetzt...?
2. Habe ich das richtig verstanden, dass es vier Vektoren der Standardbasis von [mm] $\IR^{4}$ [/mm] gibt, also [mm] $e_{1}=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 },e_{2}=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 },e_{3}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 },e_{4}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }$, [/mm] aber nur zwei davon in Frage kommen?
Bezüglich Teilaufgabe (b):
1. Ich verstehe nicht ganz, was von mir hier verlangt wird (was vielleicht am mangelnden Verständnis der Schreibweise [mm] ${}_{C}f_{B}$ [/mm] liegt)?
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
(a) Nach Definition ist [mm] $\operatorname{ker}f=f^{-1}(\left\{ 0 \right\})=\{x\in\IR^{4} | f(x)=0 \}=\{x\in\IR^{4} | Ax=0 \}$.
[/mm]
Wir suchen also eine Basis für die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems $Ax=0$.
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1}\sim\pmat{ 1 & 0 & -10 & -12 \\ 0 & 1 & -6 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0}$.
[/mm]
Man setze [mm] $s_{1}:=x-{3}$ [/mm] und [mm] $s_{2}:=x_{4}$; [/mm] dann [mm] $L_{(A|0)}=\{(10s_{1}+12s_{2},6s_{1}+7s_{2},s_{1},s_{2}):s_{1},s_{2}\in\IR \}=\operatorname{span}\left( \pmat{ 10 \\ 6 \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 12 \\ 7 \\ 0 \\ 1 } \right)$.
[/mm]
Um diese Basis zu einer Basis $B$ für [mm] $\IR^{4}$ [/mm] zu ergänzen, brauchen wir noch zwei Vektoren, so dass alle vier linear unabhängig sind und [mm] $\IR^{4}$ [/mm] erzeugen. Dazu probieren wir die möglichst einfachen Vektoren, dass heißt, die Vektoren der Standardbasis von [mm] $\IR^{4}$.
[/mm]
Letztendlich hat man als Basis die Liste (nachprüfen!)
[mm] $B:=\left( \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 },\pmat{ 10 \\ 6 \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 12 \\ 7 \\ 0 \\ 1 } \right)$.
[/mm]
(b) Sei [mm] $C:=(c_{1},c_{2},c_{3})$. [/mm] Für [mm] $A':={}_{C}f_{B}$ [/mm] erhält man das folgende System:
[mm] $Ab_{1}=A'_{11}c_{1}+A'_{21}c_{2}+A'_{31}c_{3}$,
[/mm]
[mm] $Ab_{2}=A'_{12}c_{1}+A'_{22}c_{2}+A'_{32}c_{3}$,
[/mm]
[mm] $Ab_{3}=A'_{13}c_{1}+A'_{23}c_{2}+A'_{33}c_{3}$,
[/mm]
[mm] $Ab_{4}=A'_{14}c_{1}+A'_{24}c_{2}+A'_{34}c_{3}$,
[/mm]
und Einsetzen liefert
[mm] $c_{1}=\pmat{ 1 \\ -2 \\ -3 },c_{2}=\pmat{ -2 \\ 3 \\ 5 }$, $c_{3}$ [/mm] beliebig.
Der Vektor [mm] $c_{3}$ [/mm] ist so gewählt, dass $C$ eine Menge linear unabhängiger Vektoren ist und den Raum [mm] $\IR^{3}$ [/mm] erzeugt; zum Beispiel (nachprüfen!):
[mm] $C=\left( \pmat{ 1 \\ -2 \\ -3 },\pmat{ -2 \\ 3 \\ 5 },\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 } \right)$.
[/mm]
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> Sei
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> [mm]A=\pmat{ 1 & -2 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1}[/mm]
>
> und [mm]f:\IR^{4}\to\IR^{3},f(x)=Ax[/mm] die zugehörige lineare
> Abbildung.
>
> (a)Bestimmen Sie eine Basis von [mm]\operatorname{ker}f[/mm] und
> ergänzen Sie diese zu einer Basis [mm]B[/mm] von [mm]\IR^{4}[/mm].
>
> (b)Bestimmen Sie eine Basis [mm]C[/mm] von [mm]\IR^{3}[/mm], so dass
>
> [mm]{}_{C}f_{B}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm].
>
> Hallo.
> Für die Beantwortung der folgenden Fragen wäre ich sehr
> dankbar:
>
> Bezüglich Teilaufgabe (a):
> 1. Leider kann ich die Definition nicht deuten.
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, wovon Du gerade sprichst. Was kannst Du nicht deuten?
> Wird da
> die Umkehrfunktion gebildet und die Menge 0 für x
> eingesetzt...?
???
Du sollst sagen, was der Kern der Abbildung f ist, für welches x also gilt f(x)=0,
dh. es sind die x zu bestimmen mit Ax=0.
Anders ausgedrückt: der Kern von A ist gesucht.
Kein Problem - Kerne bestimmen kannst Du doch inzwischen.
Der Kern hat hier die Dimension 2.
Die berechnete Basis des Kerns kann man durch zwei Vektoren zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen.
Hierfür kämen eine ganze Menge Vektoren infrage.
> 2. Habe ich das richtig verstanden, dass es vier Vektoren
> der Standardbasis von [mm]\IR^{4}[/mm] gibt, also [mm]e_{1}=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 },e_{2}=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 },e_{3}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 },e_{4}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm],
> aber nur zwei davon in Frage kommen?
Der Basisaustuschsatz garantiert Dir, daß Du in der Standardbasis zwei Vektoren findest, mit der Du die Basis des Kerns zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen kannst.
Die Ergänzung mit [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] funktioniert offensichtlich - wenn Du Lust hast, kannst Du prüfen, ob es auch mit anderen zwei Vektoren der Standardbasis funktioniert.
>
>
> Bezüglich Teilaufgabe (b):
> 1. Ich verstehe nicht ganz, was von mir hier verlangt wird
> (was vielleicht am mangelnden Verständnis der Schreibweise
> [mm]{}_{C}f_{B}[/mm] liegt)?
Gefahr erkannt - Gefahr gebannt...
[mm] _{C}f_{B} [/mm] ist die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl. der Basen B im Startraum und C im Zielraum.
In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl (der zu bestimmenden) Basis [mm] C:=(c_1, c_2, c_3).
[/mm]
Du kannst Dir nun erstmal überlegen, warum Du die zuvor bestimmte Basis B so anordnen mußt, daß [mm] b_3 [/mm] und [mm] b_4 [/mm] die Kernvektoren sind.
Danach berechne [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
>
> Gruß
> el_grecco
>
>
> Musterlösung:
>
> (a) Nach Definition ist [mm]\operatorname{ker}f=f^{-1}(\left\{ 0 \right\})=\{x\in\IR^{4} | f(x)=0 \}=\{x\in\IR^{4} | Ax=0 \}[/mm].
>
> Wir suchen also eine Basis für die Lösungsmenge des
> homogenen linearen Gleichungssystems [mm]Ax=0[/mm].
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1}\sim\pmat{ 1 & 0 & -10 & -12 \\ 0 & 1 & -6 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm].
>
> Man setze [mm]s_{1}:=x-{3}[/mm] und [mm]s_{2}:=x_{4}[/mm]; dann
> [mm]L_{(A|0)}=\{(10s_{1}+12s_{2},6s_{1}+7s_{2},s_{1},s_{2}):s_{1},s_{2}\in\IR \}=\operatorname{span}\left( \pmat{ 10 \\ 6 \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 12 \\ 7 \\ 0 \\ 1 } \right)[/mm].
>
> Um diese Basis zu einer Basis [mm]B[/mm] für [mm]\IR^{4}[/mm] zu ergänzen,
> brauchen wir noch zwei Vektoren, so dass alle vier linear
> unabhängig sind und [mm]\IR^{4}[/mm] erzeugen. Dazu probieren wir
> die möglichst einfachen Vektoren, dass heißt, die
> Vektoren der Standardbasis von [mm]\IR^{4}[/mm].
> Letztendlich hat man als Basis die Liste (nachprüfen!)
>
> [mm]B:=\left( \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 },\pmat{ 10 \\ 6 \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 12 \\ 7 \\ 0 \\ 1 } \right)[/mm].
>
> (b) Sei [mm]C:=(c_{1},c_{2},c_{3})[/mm]. Für [mm]A':={}_{C}f_{B}[/mm]
> erhält man das folgende System:
>
> [mm]Ab_{1}=A'_{11}c_{1}+A'_{21}c_{2}+A'_{31}c_{3}[/mm],
> [mm]Ab_{2}=A'_{12}c_{1}+A'_{22}c_{2}+A'_{32}c_{3}[/mm],
> [mm]Ab_{3}=A'_{13}c_{1}+A'_{23}c_{2}+A'_{33}c_{3}[/mm],
> [mm]Ab_{4}=A'_{14}c_{1}+A'_{24}c_{2}+A'_{34}c_{3}[/mm],
>
> und Einsetzen liefert
>
> [mm]c_{1}=\pmat{ 1 \\ -2 \\ -3 },c_{2}=\pmat{ -2 \\ 3 \\ 5 }[/mm],
> [mm]c_{3}[/mm] beliebig.
>
> Der Vektor [mm]c_{3}[/mm] ist so gewählt, dass [mm]C[/mm] eine Menge linear
> unabhängiger Vektoren ist und den Raum [mm]\IR^{3}[/mm] erzeugt;
> zum Beispiel (nachprüfen!):
>
> [mm]C=\left( \pmat{ 1 \\ -2 \\ -3 },\pmat{ -2 \\ 3 \\ 5 },\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 } \right)[/mm].
>
>
>
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Vielen Dank, Angela für die sehr gute Erklärung.
Bei der Teilaufgabe (a) muss ich zugeben, dass ich nicht erkennen konnte, dass das x bzw. der Kern gesucht ist, sodass die Funktion 0 ergibt.
Sind der Kern und die lineare Hülle das Gleiche, oder habe ich etwas missverstanden?
Zur Teilaufgabe (b):
>
> [mm]_{C}f_{B}[/mm] ist die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl.
> der Basen B im Startraum und C im Zielraum.
Sowei O.K.
> In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der
> Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl (der zu
> bestimmenden) Basis [mm]C:=(c_1, c_2, c_3).[/mm]
>
Jetzt verstehe ich nicht ganz, warum es die Bilder der Basisvektoren von B sind, denn es wird doch von B auf C abgebildet?
> Du kannst Dir nun erstmal überlegen, warum Du die zuvor
> bestimmte Basis B so anordnen mußt, daß [mm]b_3[/mm] und [mm]b_4[/mm] die
> Kernvektoren sind.
>
> Danach berechne [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2.[/mm]
Ich denke den Rest verstehe ich erst, wenn ich den Anfang verstanden habe...
Gruß
el_grecco
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Hallo!
> Sind der Kern und die lineare Hülle das Gleiche, oder habe
> ich etwas missverstanden?
Ja, das hast du.
Es gibt
- den Kern einer linearen Abbildung / Matrix: Die Menge der Vektoren, die durch die Abbildung / Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden.
- die lineare Hülle von einer Familie bzw. Menge von Vektoren: Das ist der Raum, der von den Vektoren aufgespannt wird; also die Menge aller Vektoren, die durch Linearkombination dieser Vektoren entstehen.
> Zur Teilaufgabe (b):
>
> >
> > [mm]_{C}f_{B}[/mm] ist die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl.
> > der Basen B im Startraum und C im Zielraum.
>
> Sowei O.K.
>
> > In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der
> > Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl (der zu
> > bestimmenden) Basis [mm]C:=(c_1, c_2, c_3).[/mm]
> >
>
> Jetzt verstehe ich nicht ganz, warum es die Bilder der
> Basisvektoren von B sind, denn es wird doch von B auf C
> abgebildet?
Du solltest dich nochmal mit Basiswechsel usw. auseinandersetzen.
Was verstehst du da konkret nicht?
In die Abbildung werden Vektoren bzgl. der Basis B reingesteckt und Vektoren bzgl. der Basis C kommen raus.
Wenn du einen Basisvektor von B in die Matrix "einsetzt", also zum Beispiel
[mm] \pmat{* & * & * \\ * & * &* \\ * & * & *}*\vektor{1\\0\\0}_{B},
[/mm]
erwartest du doch, dass der Vektor [mm] \vektor{* \\ * \\ *}_{C} [/mm] rauskommt, den die lineare Abbildung dem Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0}_{B} [/mm] zuordnet. Und genau das wird doch dann durch die Matrix verrichtet, weil die erste Spalte der Matrix bei obiger Rechnung als Ergebnis rauskommt.
Grüße,
Stefan
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Vielen Dank, Stefan.
Ich habe das große Problem, dass ich generell aus der mathematischen Theorie einfach nicht schlau werde, es sei denn, jemand erklärt sie mir in Worten.
Zu der Teilaufgabe (b):
Wenn ich in das angegebene System einsetze, erhalte ich:
[mm] $Ab_{1}=1c_{1}+0c_{2}+0c_{3}$,
[/mm]
[mm] $Ab_{2}=0c_{1}+1c_{2}+0c_{3}$,
[/mm]
[mm] $Ab_{3}=0c_{1}+0c_{2}+0c_{3}$,
[/mm]
[mm] $Ab_{4}=0c_{1}+0c_{2}+0c_{3}$,
[/mm]
Ich sehe aber nicht, wie mich dieses System auf [mm] $c_{1}$ [/mm] und [mm] $c_{2}$ [/mm] bringt?
Gruß
el_grecco
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Hallo!
> Ich habe das große Problem, dass ich generell aus der
> mathematischen Theorie einfach nicht schlau werde, es sei
> denn, jemand erklärt sie mir in Worten.
Das haben viele (alle?) - ich auch 
> Zu der Teilaufgabe (b):
>
> Wenn ich in das angegebene System einsetze, erhalte ich:
>
> [mm]Ab_{1}=1c_{1}+0c_{2}+0c_{3}[/mm],
> [mm]Ab_{2}=0c_{1}+1c_{2}+0c_{3}[/mm],
> [mm]Ab_{3}=0c_{1}+0c_{2}+0c_{3}[/mm],
> [mm]Ab_{4}=0c_{1}+0c_{2}+0c_{3}[/mm],
>
> Ich sehe aber nicht, wie mich dieses System auf [mm]c_{1}[/mm] und
> [mm]c_{2}[/mm] bringt?
Es steht doch schon fast da!
In der ersten Zeile steht: [mm] $c_{1} [/mm] = [mm] A*b_{1}$ [/mm] (das musst du nun ausrechnen, auf der rechten Seite ist alles bekannt!), analog liefert dir die zweite Zeile [mm] c_{2}.
[/mm]
Weil in dem LGS der Wert von [mm] c_{3} [/mm] egal ist (es steht immer eine 0 als Koeffizient davor), kann man [mm] c_{3} [/mm] beliebig wählen. Allerdings soll ja $C = [mm] (c_{1},c_{2},c_{3})$ [/mm] eine Basis sein, diese Einschränkung gibt es für die Wahl von [mm] c_{3}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Gut zu wissen. 
Irgendwie sehe ich den weiteren Weg nicht. Wäre super, wenn Du den Anfang für [mm] $c_{1}$ [/mm] machen könntest, dann sollte ich es endlich raffen.
Danke für deinen starken Einsatz soweit.
Gruß
el_grecco
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Hallo!
> Gut zu wissen.
>
> Irgendwie sehe ich den weiteren Weg nicht. Wäre super,
> wenn Du den Anfang für [mm]c_{1}[/mm] machen könntest, dann sollte
> ich es endlich raffen.
Es ist nach obigem Gleichungssystem
[mm] $c_{1} [/mm] = [mm] A*b_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1}*\vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1\\-2\\-3}$.
[/mm]
(Matrixmultiplikation! Bzw.: Immer wenn du den k-ten Einheitsvektor an eine Matrix von rechts dranmultipliziert, kommt da gerade die k-te Spalte als Ergebnis raus - hier der erste Einheitsvektor (1 im ersten Koeffizienten), also erste Spalte der Matrix).
Die Matrix A war gegeben, den Basisvektor [mm] b_{1} [/mm] habe ich aus dem ersten Post von dir übernommen.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 So 11.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
1000x Dank Stefan.
Das Problem war, dass ich die Teilaufgabe (b) völlig einzeln betrachtet habe und (a) wurde dabei total ignoriert. Logisch, dass das so nichts wird...
Gruß
el_grecco
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