Basis des Kerns < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr Lieben!
Könnte mir jemand (am besten mit Beispiel) erkären, wie man den Kern und die Basis des Kerns sowie das Image und eine Basis des Iamges einer nicht quadratischen Matrix berechnet?
LG
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Jo Hallo
wie wäre es mit diesem Bsp.?
Sei [mm] \phi :\IR^4\rightarrow\IR^3 [/mm] eine lineare Abbildung, die bzgl. der Standardbasen des [mm] \IR^4 [/mm] und des [mm] \IR^3 [/mm] durch [mm] A=\pmat{ 1 & -1&1&1 \\ 1 & 0 &2&-1\\1&1&3&-3} [/mm] beschrieben wird.
Bestimme Dimension von [mm] Bild(\phi) [/mm] und [mm] Kern(\phi) [/mm] und berechne Bases des Bildes und des Kerns.
Versuch dich mal dran, wenn du magst, und wenn du irgendwo hängst, frag nach
Lieben Gruß
schachuzipus
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genau das ist ja das problem. ich habe nicht verstanden, wie man das für nicht quadratische matrizen machen muss. bei quadratischen kann ich ja einfach die standardbasis drunterschreiben und nach nullzeilen entwickeln. aber hier geht das ja schlecht?!
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Hallo
Na gut, dann versuch ich mal ne Erklärung ;)
Also die Matrix ist die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis [mm] B=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\} [/mm] des [mm] \IR^4 [/mm] und der Basis [mm] C=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\} [/mm] des [mm] \IR^3.
[/mm]
Die i-te SPALTE der Darstellungsmatrix entspricht den Koordinaten der Darstellung des Bildes des i-ten Basisvektors des [mm] \IR^4 [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren des [mm] \IR^3, [/mm] dh.
1.Spalte von A ist [mm] \vektor{1\\1\\1}\Rightarrow \phi\left(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\right)=1*\vektor{1\\0\\0}+1*\vektor{0\\1\\0}+1*\vektor{0\\0\\1} [/mm]
2.Spalte von A ist [mm] \vektor{-1\\0\\-1}\Rightarrow \phi\left(\vektor{0\\1\\0\\0}\right)=(-1)*\vektor{1\\0\\0}+0*\vektor{0\\1\\0}+(-1)*\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
usw.
Damit kannst du die explizite Abbildungsvorschrift von [mm] \phi [/mm] berechnen.(versuch's mal) Tip: [mm] \vektor{a\\b\\c\\d}=a*\vektor{1\\0\\0\\0}+b*\vektor{0\\1\\0\\0}+c*\vektor{0\\0\\1\\0}+d*\vektor{0\\0\\0\\1}
[/mm]
Kontrolle: [mm] \phi :\IR^4\rightarrow\IR^3, \vektor{a\\b\\c\\d}\mapsto\vektor{a-b+c+d\\a+2c-d\\a+b+3c-3d}
[/mm]
Man kann [mm] \phi [/mm] also auf zwei Arten darstellen, zum einen durch die explizite Abbildungsvorschrift [mm] \phi :\IR^4\rightarrow\IR^3, \vektor{a\\b\\c\\d}\mapsto\vektor{a-b+c+d\\a+2c-d\\a+b+3c-3d}
[/mm]
zum anderen durch die Matrixdarstellung: [mm] \phi :\IR^4\rightarrow\IR^3, [/mm]
[mm] v\mapsto [/mm] Av oder im Detail
[mm] \vektor{a\\b\\c\\d}\mapsto \pmat{ 1 & -1&1&1 \\ 1 & 0 &2&-1\\1&1&3&-3}*\vektor{a\\b\\c\\d}
[/mm]
Die "Matrixdarstellung" hat den Vorteil, dass man an der Matrix allerhand ablesen kann. Es ist hier [mm] Bild(\phi)\subset\IR^3 [/mm] (ist [mm] \phi: V\rightarrow [/mm] W, so ist IMMER [mm] Bild(\phi)\subset [/mm] W)
So weiß man, dass die SPALTEN der Matrix das BILD aufspannen, also bilden [mm] \{\vektor{1\\1\\1},\vektor{-1\\0\\-1},\vektor{1\\2\\3},\vektor{1\\-1\\-3}\} [/mm] ein Erzeugendensystem des BILDES
Nun kann man diese Vektoren als Zeilen einer Matrix schreiben und diese dann auf Zeilenstufenform bringen, um zu sehen, welche Dimension das Bild hat(wieviele der Vektoren also linear unabhängig sind), hier also
[mm] \pmat{ 1 & 1&1 \\ -1 & 0 &1\\1&2&3\\1&-1&-3} [/mm] Das ergibt nach etwas Umformen zwei Nullzeilen: [mm] \pmat{ 1 & 1&1 \\ 0 & 1 &2\\0&0&0\\0&0&0}
[/mm]
Also ist die Dimension des Bildes 2, also enthält jede Basis des Bilderaumes 2 linear unabhängige Vektoren. Wähle einfach zwei linear unabhängige Vektoren aus den erzeugenden Spalten aus und du hast deine gesuchte Basis des Bildes, etwa [mm] \{\vektor{1\\1\\1},\vektor{1\\2\\3}\}
[/mm]
Nun zum Kern:
(ist [mm] \phi: V\rightarrow [/mm] W, so ist IMMER [mm] Kern(\phi)\subset [/mm] V), hier also [mm] Kern(\phi)\subset \IR^4
[/mm]
Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf 0 abgebildet werden, also [mm] Kern(\phi)=\{v\in\IR^4|\phi(v)=0\}
[/mm]
Mit der Dimensionsformel für lineare Abbildungen [mm] \phi :V\rightarrow [/mm] W gilt: [mm] dim(V)=dim(Kern(\phi))+dim(Bild(\phi)), [/mm] hier also
[mm] dim(\IR^4)=4, dim(Bild(\phi))=2, [/mm] also [mm] dim(Kern(\phi))=4-2=2
[/mm]
Somit weißt du schon, dass die Dimension des Kernes von [mm] \phi [/mm] =2 sein muss, ohne dir den Kern schon genauer angesehen zu haben.
Zur Berechnung einer Basis des Kernes würde ich dir hier die explizite Abbildungsvorschrift von [mm] \phi [/mm] empfehlen:
gesucht ist ja die Menge aller Vektoren [mm] \in \IR^4, [/mm] die auf 0 abgebildet werden, also setze an:
[mm] \phi\left(\vektor{a\\b\\c\\d}\right)=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \vektor{a-b+c+d\\a+2c-d\\a+b+3c-3d}=
[/mm]
[mm] \vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Der Lösungsraum dieses homogenen LGS ist der Kern von [mm] \phi
[/mm]
Wenn du das LGS löst, erhältst du 2 freie Variablen, meinetwegen s und t (probieren!)
Als Lösungsmenge ergibt sich [mm] \IL=\{\vektor{-2s+t\\-s+2t\\s\\t}|s,t\in\IR\}=\{s*\vektor{-2\\-1\\1\\0}+t*\vektor{1\\2\\0\\1}\}
[/mm]
Also wird der Kern von [mm] \phi [/mm] von [mm] \vektor{-2\\-1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\2\\0\\1} [/mm] aufgespannt und da diese beiden Vektoren linear unabhängig sind (siehe letzten beiden Komponenten!), bilden sie eine Basis des Kernes von [mm] \phi [/mm]
Puh ich hoffe, das war nicht zu durcheinander und zu sehr klein-klein, aber so ist es zumindest ausführlich ;)
Viel Erfolg
schachuzipus
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Danke!
Ich brauch das so kleinschrittig...... :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Di 30.01.2007 | | Autor: | CPH |
ich denke ich kanns dir morgen erklären, sagen wir beim Mittagsessen?
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