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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Basis bestimmen

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Basis bestimmen: Rückfrage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:26 Fr 26.03.2010
Autor:	peeetaaa

Aufgabe

 Es sei U der Unterraum des Vektorraums V:= [mm] \IR^4 [/mm] der von der Menge

S:= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3}, \vektor{5 \\ 3 \\ 1 \\ 1}, \vektor{3 \\ 2 \\ 0 \\ -1}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1} [/mm] erzeugt wird. Bestimmen Sie eine Basis.

Hallo,

komme bei der Aufgabe nicht ganz weiter.
Wollte die Vektoren in eine Matrix schreiben und dann gucken welche linear unabhängig sind!

[mm] \pmat{ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & -1 } [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & -7 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -14 & -10 & -4 } [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & -7 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 } [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 } [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 } [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1} [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1} [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0} [/mm]

naja und das würde ja eigentlich heißen, dass der Rang der Matrix maximal ist und diese damit linear unabhängig...aber in der Lösung steht, dass der zweite Vektor rausfällt, da dieser durch die Summe der anderen 3 Vektoren dargestellt werden kann.
Jetzt wollte ich fragen wo mein Fehler hier ist?

Danke schonmal!

Bezug

Basis bestimmen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:37 Fr 26.03.2010
Autor:	schachuzipus

Hallo Peter,

> Es sei U der Unterraum des Vektorraums V:= [mm]\IR^4[/mm] der von
> der Menge
>  S:= [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3}, \vektor{5 \\ 3 \\ 1 \\ 1}, \vektor{3 \\ 2 \\ 0 \\ -1}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> erzeugt wird. Bestimmen Sie eine Basis.
>  Hallo,
>
>
> komme bei der Aufgabe nicht ganz weiter.
> Wollte die Vektoren in eine Matrix schreiben und dann
> gucken welche linear unabhängig sind!

Du hättest mal die Umformungsschritte dranschreiben sollen ...

>
> [mm]\pmat{ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & -1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & -7 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -14 & -10 & -4 }[/mm]

>
> [mm]\pmat{ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & -7 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \red{2} & 2 }[/mm]

Ich nehme an, du hast das (-2)-fache der 2.Zeile auf die 4.Zeile addiert?!

Dann ergibt sich aber für die 4.Zeile: $0 \ \ 0 \ \ [mm] \red{-2} [/mm] \ \ [mm] \red{2}$ [/mm]

Den Rest habe ich nicht weiter kontrolliert.

Aber

hier kannst du online Determinanten berechnen lassen. Die der Ausgangsmatrix ist 0 ...

>
> [mm]\pmat{ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> naja und das würde ja eigentlich heißen, dass der Rang
> der Matrix maximal ist und diese damit linear
> unabhängig...aber in der Lösung steht, dass der zweite
> Vektor rausfällt, da dieser durch die Summe der anderen 3
> Vektoren dargestellt werden kann.
>  Jetzt wollte ich fragen wo mein Fehler hier ist?
>
> Danke schonmal!

Gruß

schachuzipus