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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:18 Do 02.12.2004 | | Autor: | Christian |
Hallo ihr alle.
Hab heute eine Übungsaufgabe abgeben müssen, die ich nicht zu meiner Zufriedenheit lösen konnte... nicht daß ich keine Ansätze oder Ideen hätte, aber es würde mich interessieren, wie ihr hier herangegangen wäret.
Die Aufgabe war:
Sei [mm]a_1,...,a_n[/mm] eine Basis des K-Vektorraums V und [mm]b_k= \summe_{i=1}^{k} a_i[/mm] für k aus {1,...,n}.
Geben Sie sämtliche Basen aus [mm]\{a_1,...,a_n,b_1,...,b_n\}[/mm] an und stellen sie [mm]a_n[/mm] als Linearkombination jeglicher dieser Basen dar.
Meine Überlegungen dazu waren grob gesprochen:
- Die Basis in spe muß logischerweise n Elemente haben
- sie muß ein Erzeugendensystem sein, insbesondere müssen sich die a's aus der neuen Basis darstellen lassen
- linear unabhängig ist dieses Erzeugendensystem dann von selbst, da es ja nur n Elemente enthält
- Grundlage meiner weiteren Überlegungen war die Menge [mm]C= \{a_i, b_j | i \in M, j \in \{1,...,n \}\backslash M \}[/mm] mit [mm]M \subseteq \{1,...,n\}[/mm]. Diese ist Basis, und man kann aus C weitere Basen durch die Eigenschaft [mm]a_{j-1}=b_j-a_j-k[/mm] gewinnen, indem man [mm]a_{j-1}[/mm] durch [mm]b_j[/mm] oder [mm]a_j[/mm] ersetzt, je nachdem, was vorher in C war und ob sich das "Korrekturglied" k darstellen läßt durch Elemente aus C.
Mein Hauptproblem war: Wie bekommt man heraus, ob man tatsächlich alle Basen erwischt? Und wie beweist man das anständig?
Bin vor allem gespannt auf eure Herangehensweise, wie gesagt, die Aufgabe drängt nicht, bin eben nur an euren Ansätzen interessiert.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Fr 03.12.2004 | | Autor: | baskolii |
Hi!
Vorüberlegung:
[mm] A:=(a_1,...,a_n), B:=(b_1, ...,b_n)
[/mm]
klar ist: A Basis, also auch B Basis
also gibt es zu jedem [mm] a_i [/mm] ein [mm] b_j, [/mm] so dass aus [mm] a_1,...,a_n [/mm] eine Basis entsteht, wenn man [mm] a_i [/mm] durch [mm] b_j [/mm] ersetzt.
wenn man jetzt mal von der anderen Seite anfängt zu überlegen: also ich nehme mir ein [mm] b_j [/mm] und überlege mit welchen [mm] a_i [/mm] ich dieses [mm] b_j [/mm] austauschen kann damit [mm] a_1,...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_n,b_j [/mm] eine Basis ist
das sind alle [mm] a_i [/mm] mit [mm] i\le [/mm] j
also ist [mm] C_1:=(a_1,...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_n,b_j) [/mm] mit [mm] j\ge [/mm] i eine Basis
mit der gleichen Begründung ist [mm] C_2:=(a_1,..,a_{l-1},a_{l+1},...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_n,b_j,b_k) [/mm] mit [mm] j\ge [/mm] i [mm] ,k\ge [/mm] l, [mm] k\not=j, i\not=l [/mm] eine Basis.
usw.
[mm] C_n [/mm] ist dann also wieder B.
Das ist natürlich nur eine Lösungsskizze. Als Hausarbeit würde ich das natürlich noch exakter ausarbeiten.
mfg Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Hexe |
So mal ein paar gedanken zur Anzahl dieser Basen.
Ich kann [mm] a_{1} [/mm] durch alle [mm] b_{i} [/mm] ersetzen, [mm] a_{2} [/mm] durch alle [mm] b_{i} i\ge [/mm] 2 und so weiter [mm] a_{n} [/mm] kann dann nur durch [mm] b_{n} [/mm] ersetzt werden.
Also n*n-2*n-3*...+(n-1)+1 = n*(n-2)!+n
Das kommt zustande durch n Möglichkeiten für [mm] a_{1} [/mm] bei jeder habe ich n-2 Möglichkeiten [mm] a_{2} [/mm] zu ersetzen ausser bei [mm] a_{1}=b_{1} [/mm] da sind es n-1 also plus eine die ich aus dem Produkt raus nehme, am ende habe ich dann noch die ursprüngliche dazugezählt. Das Angeben aller Basen is mir jetzt zu aufwändig :). Aber das erklärt sich aus dem Zählen
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