Basis bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mo 04.12.2006 | | Autor: | detlef |
Hallo,
esist eine aufgabe, bei der ich ein wenig erklärungsbedarf benötige:
bestimmen sie eine basis des [mm] \IR^3 [/mm] so, dass die spiegelung an der ebene
x+y+z=0 durch eine diagonalmatrix beschrieben wird!
also die spiegelmatrix an der ebene bekomme ich hin, aber was mache ich dann, damit es eine diagonalmatrix ist?
detlef
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Mo 04.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo detlef
Wenn die Matrix Diagonalgestalt hat, dann muss die Basis bezüglich dieser Matrix aus Eigenvektoren bestehen.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 04.12.2006 | | Autor: | detlef |
und was heißt das, was muss ich machen mit der spiegelmatrix?
detlef
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Hallo,
Diagonalmatrix bedeutet ja, daß die Basisvektoren durch die Abbildung sich "nicht wesentlich" ändern, also nur um skalare Vielfache.
Wähle Dir eine Basis unter berücksichtigung der Spiegeleigenschaften wie folgt:
2 der Basisvektoren liegen in der Spiegelebene.
Diese verändern sich bei Spiegelung überhaupt nicht.
Den dritten nimmst Du senkrecht zur Ebene. Er klappt um, ändert also lediglich sein Vorzeichen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Di 05.12.2006 | | Autor: | detlef |
also zwei von der spiegelmatrix und den anderen senkrecht zu diesen beiden vektoren?
also das rechnen bekomme ich hin, aber den sinn verstehe ich nicht so?!
detlef
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Hallo,
es ist doch so, daß Ihr bei den Eigenwerten noch nicht angekommen seid?
> also zwei von der spiegelmatrix
Nein,
ich würde hier anders denken: erst die Basis und dann die Matrix bzgl. dieser Basis.
Es ist ja Basisvektoren [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] gesucht mit der Eigenschaft
[mm] \sigma(b_i)=k_ib_i, [/mm] wobei [mm] \sigma [/mm] die besagte Siegelung sein soll und [mm] k_i\in \IR.
[/mm]
Die darstellende Matrix bzgl. dieser Vektoren wäre dann eine Diagonalmatrix.
Und um solche Vektoren zu finden, kannst Du über "Spiegelung" nachdenken. Die Vektoren der Spiegelebene bleiben unverändert, sie eignen sich prima. Wenn Du sie durch den zur eenen senkrechten Vektor ergänzt, hast du eine Basis, die das Geforderte tut. g
Gruß v. Angela
und den anderen senkrecht
> zu diesen beiden vektoren?
>
> also das rechnen bekomme ich hin, aber den sinn verstehe
> ich nicht so?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Di 05.12.2006 | | Autor: | detlef |
Ich habe die Theorie immer noch nicht verstanden!
Erstmal wie findet man eine Basis des [mm] R^3? [/mm] Dann soll diese Basis an der Ebene x+y+z=0 gespielt werden und gleich eine Diagonalmatrix sein? Muss ich das nicht andersherum rechnen, also
Diagonalmatrix = Basis * Spiegelmatrix?
Eigenvektoren haben wir schon berechnet von Determinanten!
detlef
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>
> Diagonalmatrix = Basis * Spiegelmatrix?
Der Witz ist der: wenn Du die richtige Basis hast, IST Deine Spiegelmatrix eine Diagonalmatrix!
>
> Eigenvektoren haben wir schon berechnet von Determinanten!
Gut.
Dann wirst Du diesen Satz kennen (sollen):
Die darstellende Matrix eines Endomorphismus ist genau dann eine Diagonalmatrix, wenn die Basisvektoren Eigenvektoren des Endomorphismus sind. Ist dies der Fall, so stehen auf der Diagonalen die Eigenwerte.
Deine Aufgabe ist es also, die Eigenwerte bzw. Eigenvektoren der Spiegelung zu finden, was Dir ganz am Anfang des threads moudi mitgeteilt hatte.
Welches sind die nun Eigenvektoren einer Spiegelung? Eigenvektoren generell sind die Vektoren, die unter dem Endomorphismus auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet werden. Im Falle der Ebenenspiegelung die Vektoren, die in der Ebene liegen (sie bleiben unverändert, EW=1) und die, die senkrecht zur Ebene sind (diese klappen um, EW=-1). Findest Du drei linear unabhängioge Eigenvektoren Deiner Spiegelung, so hast Du eine Basis aus Eigenvektoren gefunden.
Wenn Du partout von Deiner selbstgebastelten Spiegelmatrix ausgehen möchtest, kannst Du deren EWe (1,1,-1) und EVen bestimmen, und dann eine Basis aus Eigenvektoren bauen. Das geht auch, und wenn Du es nicht falsch machst, bekommst du das Richtige... Nur - es ist völlig unorganisch, weil der überflüssige Schritt des Bauens einer Matrix bezogen auf Basisvektoren, die dem Problem nicht angemessen sind, zwischengeschaltet ist.
Eine Frage, die Du Dir unbedingt stellen solltestt: hast Du richtig verstanden, was Eigenvektoren und Eigenwerte sind? Ich meine jetzt nicht die Rechentechnik, sondern was sich geometrisch-anschaulich dahinter verbirgt? Wenn nicht, solltest Du Dich damit beschäftigen. Die Fähigkeit, das auszurechnen, ist viel wert, aber man sollte auch wissen, was man tut.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:00 Di 05.12.2006 | | Autor: | detlef |
Du hast völlig recht, das der Sinn von Eigenwerten und Eigenvektoren mir noch nicht so klar ist, ich rechne bisher noch sehr stur nach Schema F und kam bisher damit aus, aber nun geht das los!
Hast du vllt ein paar Seiten, die mir das gut vermitteln und mich in der Aufgabe weiterbringen?
detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 07.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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