Basis berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Do 22.06.2006 | | Autor: | mabirto |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie in Abhänigkeit vom Parameter a [mm] \in \IR [/mm] eine Basis des von den Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 4}, \vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \\ -1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\a \\a} [/mm] erzeugten Teilraums von [mm] \IR^5. [/mm] |
Hallo,
ich habe die Aufgabe gelöst. Ich weiß aber nicht ob sie richtig ist, vor allem weiß ich nicht ob man den Paramerter a nicht noch näher bestimmen muss.
Ich würde mich freuen, wenn jemand die Aufgabe kontrollieren könnte.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 4 & 0 & -1 & a} [/mm] 5 - 4. Zeile
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0} [/mm] 1. - 5. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0} [/mm] 2. -2*5. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0} [/mm] 2. - 3. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0} [/mm] 1.-2. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0} [/mm] 2. - 3. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0} [/mm] 4. Zeile - 3 * 5. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 16 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0}
[/mm]
=>
5 [mm] \lambda3 [/mm] = 0
2 [mm] \lambda2 [/mm] - 3 [mm] \lambda3 [/mm] = 0
[mm] \lambda2 [/mm] + 3 [mm] \lambda3 [/mm] + [mm] \lambda4 [/mm] = 0
Also
[mm] \lambda3 [/mm] = 0
2 [mm] \lambda2 [/mm] = 0 => [mm] \lambda2 [/mm] = 0
4 [mm] \lambda2 [/mm] + 15 [mm] \lambda3 [/mm] + a [mm] \lambda4 [/mm] = 0 => [mm] \lambda4 [/mm] = 0
[mm] \lambda1 [/mm] = 0
Es existiert also mindestens eine Basis.
Um eine Bais zu bestimmen, muss man die Lambdas bestimmen, sie können beliebig aus [mm] \IR [/mm] bestimmt werden.
Sei [mm] \lambda1 [/mm] = 1, [mm] \lambda2 [/mm] = 2, [mm] \lambda3 [/mm] = 3, [mm] \lambda4 [/mm] = 4
1 * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 4} [/mm] + 2* [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, [/mm] + 3* [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \\ -1} [/mm] + 4* [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 1 \\a \\a} [/mm] = [mm] \vektor{15 \\ 14 \\ 15 \\ 21 + 4a \\ 4a} [/mm]
Es ist also [mm] \vektor{15 \\ 14 \\ 15 \\ 21 + 4a \\ 4a} [/mm] eine Bais des von den Vektoren erzeugten Teilraums von [mm] \IR^5
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Fr 23.06.2006 | | Autor: | mabirto |
Ich habe wohl Zeilen und Spalten beim Aufstellen der Matrix verwechselt?
Ist das Prinzip denn richtig?
Ich rechne das nachher dann nochmal für die richtige Matrix aus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Marbito,
> Bestimmen Sie in Abhänigkeit vom Parameter a [mm]\in \IR[/mm] eine
> Basis des von den Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 4}, \vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \\ -1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\a \\a}[/mm]
> erzeugten Teilraums von [mm]\IR^5.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe gelöst. Ich weiß aber nicht ob sie
> richtig ist, vor allem weiß ich nicht ob man den Paramerter
> a nicht noch näher bestimmen muss.
>
> Ich würde mich freuen, wenn jemand die Aufgabe
> kontrollieren könnte.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 4 & 0 & -1 & a}[/mm]
> 5 - 4. Zeile
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0}[/mm]
Es muss heißen:
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & \red{- 5} & 0}[/mm]
> 1. - 5. Zeile
> [mm]\pmat{ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0}[/mm]
> 2. -2*5. Zeile
> [mm]\pmat{ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0}[/mm]
auch hier hast du dich verrechnet.
> 2. - 3. Zeile
> [mm]\pmat{ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0}[/mm]
> 1.-2. Zeile
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0}[/mm]
> 2. - 3. Zeile
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0}[/mm]
> 4. Zeile - 3 * 5. Zeile
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 16 & a \\ 1 & -1 & -3 & 0}[/mm]
>
> =>
> 5 [mm]\lambda3[/mm] = 0
> 2 [mm]\lambda2[/mm] - 3 [mm]\lambda3[/mm] = 0
> [mm]\lambda2[/mm] + 3 [mm]\lambda3[/mm] + [mm]\lambda4[/mm] = 0
>
> Also
> [mm]\lambda3[/mm] = 0
> 2 [mm]\lambda2[/mm] = 0 => [mm]\lambda2[/mm] = 0
> 4 [mm]\lambda2[/mm] + 15 [mm]\lambda3[/mm] + a [mm]\lambda4[/mm] = 0 => [mm]\lambda4[/mm]
> = 0
> [mm]\lambda1[/mm] = 0
Wegen der obigen Fehler kommst du hier zu falschen Ergebnissen.
>
> Es existiert also mindestens eine Basis.
Das verstehe ich nicht. Eine Basis gibt es doch in jedem Fall. Die Frage ist doch, welche der erzeugenden Vektoren eine Basis bilden. Mit deiner Rechnung bestimmst du die Dimension des Teilraums in Abhängigkeit von a. Damit bekommst du dann die Anzahl der Basiselemente.
> Um eine Bais zu bestimmen, muss man die Lambdas bestimmen,
> sie können beliebig aus [mm]\IR[/mm] bestimmt werden.
>
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Eine Basis ist doch ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren.
> Sei [mm]\lambda1[/mm] = 1, [mm]\lambda2[/mm] = 2, [mm]\lambda3[/mm] = 3, [mm]\lambda4[/mm] =
> 4
>
> 1 * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 4}[/mm] + 2* [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0},[/mm]
> + 3* [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \\ -1}[/mm] + 4* [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 1 \\a \\a}[/mm]
> = [mm]\vektor{15 \\ 14 \\ 15 \\ 21 + 4a \\ 4a}[/mm]
>
>
> Es ist also [mm]\vektor{15 \\ 14 \\ 15 \\ 21 + 4a \\ 4a}[/mm] eine
> Bais des von den Vektoren erzeugten Teilraums von [mm]\IR^5[/mm]
Nein. Hier hast du nur ein Element deines Unterraums erzeugt.
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Fr 23.06.2006 | | Autor: | mabirto |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Doch jetzt bin ich wein wenig verwirrt, muss ich nun die Vektoren als Spalten oder als Zeilen schreiben?
Ich habe Sie jetzt als Zeile geschrieben.
Dabei bin ich auf das Ergebnis:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & -1 & (3-a) & (4-a) \\ 0 & 2 & -2 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & (-5 + a) & (-11 + a) \\ 1 & 2 &1 & a & a}
[/mm]
gekommen.
Ob das nun stimmt oder nicht ist gerade nicht so schlimm, denn die Aufgabe ist nur für mich zu Übungszwecken.
Wie teste ich jetzt ob die Vektoren linear unabänig sind? Was sind überhaupt jetzt die Vektoren, die Spalten oder die Zeilen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mabirto,
Bestimmen Sie in Abhänigkeit vom Parameter a $ [mm] \in \IR [/mm] $ eine Basis des von den Vektoren $ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 4}, \vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \\ -1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\a \\a} [/mm] $ erzeugten Teilraums von $ [mm] \IR^5. [/mm] $
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort.
> Doch jetzt bin ich wein wenig verwirrt, muss ich nun die
> Vektoren als Spalten oder als Zeilen schreiben?
>
>
> Ich habe Sie jetzt als Zeile geschrieben.
> Dabei bin ich auf das Ergebnis:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & -1 & (3-a) & (4-a) \\ 0 & 2 & -2 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & (-5 + a) & (-11 + a) \\ 1 & 2 &1 & a & a}[/mm]
>
> gekommen.
> Ob das nun stimmt oder nicht ist gerade nicht so schlimm,
> denn die Aufgabe ist nur für mich zu Übungszwecken.
>
> Wie teste ich jetzt ob die Vektoren linear unabänig sind?
> Was sind überhaupt jetzt die Vektoren, die Spalten oder die
> Zeilen?
Die Vektoren $ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 4}, \vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \\ -1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\a \\a} [/mm] $ sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung
$ [mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 4} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{2 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda_4 \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\a \\a} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0\\0\\0} [/mm] $
nur die Lösung $ [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \lambda_4 [/mm] = 0 $ hat.
Dazu betrachtest du die Matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & a \\ 4 & 0 & -1 & a} [/mm] $
Dieser Ansatz in deiner ersten Frage war schon richtig.
Du musst jetzt herausfinden, für welche a das Gleichungssystem nur die triviale Lösung $ [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \lambda_4 [/mm] = 0 $ hat.
Gibt es solche a, dann sind für diese a-Werte die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis.
Ist der Zusammenhang jetzt klarer?
Gruß
Sigrid
|
|
|
|
