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| Aufgabe | Seien V ein Vektorraum über einem Körper K und S eine Teilmenge von V mit <S>=V. Beweisen Sie, dass [mm] \exists [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] S, sodass B eine Basis von V über K ist. Dabei sollen Sie folgenden Satz nicht benutzen:
Es sei V ein Vektorraum und S eine linear unabhängige Teilmenge von V. Dann gibt es eine Basis B von V mit S [mm] \subseteq [/mm] B. Insbesondere besitzt jeder Vektorraum eine basis. |
Hallo,
Habe leider ein Problem damit, den Beweis aufzustellen und wäre sehr dankbar für eure Tipps ;)
Habe folgenden Ansatz:
S soll ja den gesamten Vektorraum V aufspannen. Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
Die Menge S kann entweder linear unabhängig oder linear abhängig sein.
Fall 1: S ist l.u.
[mm] \Rightarrow [/mm] S = B
Fall 2: S ist l.a.
dann kann man jeden Vektor [mm] (\in [/mm] S), der als Linearkombination anderer Vektoren [mm] (\in [/mm] S) darstellbar ist, aus dieser Menge "herausnehmen", bis eine linear unabhängige Teilmenge S' [mm] \subseteq [/mm] S entsteht und <S'>=<S>=V. Dann ist B = S' [mm] \subseteq [/mm] S.
Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Antworten!
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien V ein Vektorraum über einem Körper K und S eine
> Teilmenge von V mit <S>=V. Beweisen Sie, dass [mm]\exists[/mm] B
> [mm]\subseteq[/mm] S, sodass B eine Basis von V über K ist. Dabei
> sollen Sie folgenden Satz nicht benutzen:
>
> Es sei V ein Vektorraum und S eine linear unabhängige
> Teilmenge von V. Dann gibt es eine Basis B von V mit S
> [mm]\subseteq[/mm] B. Insbesondere besitzt jeder Vektorraum eine
> basis.
>
> Habe leider ein Problem damit, den Beweis aufzustellen und
> wäre sehr dankbar für eure Tipps ;)
>
> Habe folgenden Ansatz:
>
> S soll ja den gesamten Vektorraum V aufspannen. Es sind
> zwei Fälle zu unterscheiden:
>
> Die Menge S kann entweder linear unabhängig oder linear
> abhängig sein.
>
> Fall 1: S ist l.u.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] S = B
Das ist der triviale Fall.
> Fall 2: S ist l.a.
>
> dann kann man jeden Vektor [mm](\in[/mm] S), der als
> Linearkombination anderer Vektoren [mm](\in[/mm] S) darstellbar ist,
> aus dieser Menge "herausnehmen", bis eine linear
> unabhängige Teilmenge S' [mm]\subseteq[/mm] S entsteht und
> <S'>=<S>=V. Dann ist B = S' [mm]\subseteq[/mm] S.
Da fehlt noch einiges zu zeigen. Wenn $S$ endlich ist, dann geht das so (wobei du noch zeigen muss, dass es tatsaechlich eine Basis ist).
Wenn jedoch $S$ auch unendlich sein darf (was hier nicht ausgeschlossen wurde), musst du mehr arbeiten. Am einfachsten ist es wohl das System aller Teilmengen von $S$ zu betrachten, die linear unabhaengig sind. Jetzt nimmst du dir davon ein maximales und zeigst, dass es eine Basis ist.
Damit du allerdings ein maximales System solcher Mengen waehlen kannst, brauchst du das Lemma von Zorn. Sagt dir das was?
LG Felix
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Hab mir jetzt folgendes überlegt:
Wenn S den gesamten Vektorraum V aufspannt, dann betrachtet man die Teilmenge S', in der nur linear unabhängige Richtungsvektoren von S enthalten sind. Die Menge S' mit der Ordnung [mm] \subseteq [/mm] lässt sich so in Ketten unterteilen, dass jede Kette eine obere Schranke besitzt. D.h. es gibt ein Element jeder Kette, dass alle anderen Elemente dieser Kette als Teilmenge besitzt. Wenn jede Kette eine obere Schranke besitzt, dann enthält die Menge lin. unabhängiger Richtungsvektoren ein maximales Element (Zornsches Lemma). Dieses maximale Element wäre dann eine Basis von V.
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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