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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:53 Sa 24.10.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $V:=\IF^{6}_2$ [/mm] und $U$ der von [mm] $(1,1,1,0,1,1)^{t},(1,1,0,1,1,0)^{t}$ [/mm] und [mm] $(0,0,1,1,0,1)^{t}$ [/mm] erzeuget Unterraum.Geben sie eine Basis des Annihilators [mm] $U^{0}$ [/mm] an. |
lösung:
Annihilator definition [mm] $U^{0}=\{\phi \in V^{*}| \phi (U)=0}$
[/mm]
ich weis,dass das ich den kern der matrix [mm] $\pmat{ 1&1&1&0&1&1\\ 1&1&0&1&1&0 \\0&0&1&1&0&1}$. [/mm] ich weis,aber nicht wie's begründen soll.
Nichtsdesto trotz
mit gauss algorithmus
[mm] $\pmat{ 1&1&1&0&1&1\\ 1&1&0&1&1&0 \\0&0&1&1&0&1} [/mm] $.
zweite zeile minus erste
[mm] $\pmat{ 1&1&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&0&1 \\0&0&1&1&0&1} [/mm] $
dritte zeile minus zweite
[mm] $\pmat{ 1&1&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&0&1 \\0&0&0&0&0&0} [/mm] $
Lösungen [mm] $x_1=-( x_2+x_3+x_5+x_6)$ [/mm] , da wir im [mm] $\IF^{6}_2$ [/mm] sind wird $ -1=1 [mm] \Rightarrow x_1= x_2+x_3+x_5+x_6$ [/mm] und [mm] $x_3=x_4+x_6$ [/mm] wegen des Vorzeichens gleiche argumentation,wie im anderen Hauptsatz.
nun fehlen uns lösungen [mm] $x_2,x_4,x_5,x_6,$ [/mm] die wir ergänzen mit
$ [mm] x_2=a ,x_4=b,x_5=c,x_6=d [/mm] $ mit [mm] $\forall [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IF_2$
[/mm]
Eingesetzt folgt daraus [mm] $x_3=x_4+x_6=b+d$ [/mm] und [mm] $x_1= [/mm] a+b+d+c+d= a+b+c+2*d=a+b+c$ da $2*d=0$ ist ,weil im [mm] $\IF_2$ [/mm] entweder $2*0=0 $passiert oder $2*1=0$ ist.
Folglich [mm] $x_1= [/mm] a+b+c [mm] ,x_2=a,x_3=b+d,x_4=b,x_5=c,x_6=d$
[/mm]
daraus ergibt sich die basis [mm] $<\vektor{1 \\ 1\\0\\0\\0\\0},\vektor{1 \\ 0\\1\\1\\0\\0},\vektor{1 \\ 0\\0\\0\\1\\0},\vektor{0 \\ 0\\1\\0\\0\\1}>$
[/mm]
kann man das so machen?
liebe grüße euch allen :))
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 26.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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