Basis - so ok ? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Do 29.11.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei K ein Körper sei n eine natürliche Zahl. Eine Matrix [mm] A \in M_{nn}(K) [/mm] heisst schiefsymmetrisch, falls [mm] A=-A^T [/mm].
Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von [mm] S_3(\IR) [/mm] |
Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe mir folgendes gedacht, weiss aber nicht, ob das richtig ist:
[mm] S_3=\pmat{a &b & c\\-b & d & e\\-c & -e & f} [/mm]
Die Dimension in einer 3x3 Matrix ist 3 und eine Basis kann sein:
[mm] v1=\pmat{a\\-b\\-c}, v2=\pmat{b\\d\\-e}, v3=\pmat{c\\e\\f} [/mm].
Diese 3 Vektoren sind linear unabhängig und können deshalb eine Basis bilden.
Oder muss ich das konkret mit Zahlen machen ?
Stimmen diese Überlegungen ?
Danke, Susanne.
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> Sei K ein Körper sei n eine natürliche Zahl. Eine Matrix [mm]A \in M_{nn}(K)[/mm]
> heisst schiefsymmetrisch, falls [mm]A=-A^T [/mm].
>
> Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von [mm]S_3(\IR)[/mm]
Hallo,
hier geht erade etwas schief bei Deinen schiefsymmetrischen 3x3-Matrizen.
Du suchst ja eine Basis des Raumes dieser Matrizen, wenn ich das [mm] S_3(\IR) [/mm] richtig interpretieren.
Woraus wird diese Basis bestehen? Aus Vogeleiern, verschiedenfarbigen Katzen, konvergenten Folgen, reellen Zahlen, Spaltenvektoren? Alles falsch!!!
Die Basis muß aus Matrizen bestehen, denn Du willst doch durch Linearkombination sämtliche schiefsymmetrische Matrizen daraus machen.
Der Raum, den Du betrachten sollst, ist ja ein Unterraum dessen, der die 3x3-Matrizen enthält.
Welches ist da denn eine Basis?
Es ist
[mm] \pmat{1 &0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &01 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\0 & 0 & 0\\1 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 1 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 &1}
[/mm]
eine Basis.
Überlege Dir, daß Du mit diesen Matrizen alle 3x3-Matrizen darstellen kannst als Linearkombi, und daß Du mit weniger nicht auskommst. Die Dimension dieses Raumes ist also 9 und nicht etwa 3.
In Deiner Aufgabe nun sind die 9 Einträge der Matrix nicht ganz unabhängig voneinander, deshalb wirst Du weniger Matrizen benötigen, um als Linearkombination dieser alle schiefsymmetrischen Matrizen zu erzeugen. Du wirst sicher auch welche verwenden konnen, bei denen mehr als ein Eintrag [mm] \not=0 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Do 29.11.2007 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Angela,
VIELEN DANK für Deine schnelle Hilfe.
Offensichtlich habe ich hier einiges nicht verstanden, vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung !
Stimmt denn dann dieses Ergebnis:
Die Dimension ist 6 und die Basis kann aus folgenden Matrizen gebildet werden:
[mm]\pmat{1 &0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 &1}, \pmat{0 &1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 1\\0 & 0 & 0\\-1 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 &0} [/mm]
Danke, Susanne.
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> Stimmt denn dann dieses Ergebnis:
> Die Dimension ist 6 und die Basis kann aus folgenden
> Matrizen gebildet werden:
> [mm]\pmat{1 &0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 &1}, \pmat{0 &1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 1\\0 & 0 & 0\\-1 & 0 &0}, \pmat{0 &0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 &0}[/mm]
Hallo,
ja, dieses Ergebnis sieht außerordentlcih gut aus - Du mußt natürlich zeigen, daß die matrizen linear unabhängig sind und erzeugen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:07 Do 29.11.2007 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
vielen Dank für Deine Hilfe !
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