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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:17 Do 16.11.2006 | | Autor: | fruzsi |
Man definiere für eine Zerlegung [mm] \Delta [/mm] : a = [mm] x_{0}
[mm] S_{1}(\Delta):= [/mm] {f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] | f ist eine Gerade auf [mm] [x_{i},x_{i+1}] \forall [/mm] i=0,...,n-1 und stetig}
Man zeige: [mm] {f_{0},...,f_{n}} [/mm] ist eine Basis von [mm] S_{1} (\Delta), [/mm] wobei die [mm] f_{i} [/mm] definiert sind als
[mm] f_{0}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}
\bruch{x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}, & \mbox{für } x \in [x_{0}, x_{1}] \\
0, & \mbox{ sonst }
\end{cases}
[/mm]
[mm] f_{i}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}} , & \mbox{für } x \in [x_{i-1}, x_{i}] \\ \bruch{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_{i}}, & \mbox{für } x \in [x_{i}, x_{i+1}] \\ 0, & \mbox{sonst, i=1,..,n-1} \end{cases}
[/mm]
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{x-x_{n-1}}{x_{n}-x_{n-1}}, & \mbox{für } x \in [ x_{n-1}, x_{n}] \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Könnte jemand dabei mir helfen?
Nicht nur lösen, sonder auch erklären!
Vielen Dank!
Fruzsi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Man definiere für eine Zerlegung [mm]\Delta[/mm] : a = [mm]x_{0}
> [mm]...
> Polygonzüge
>
> [mm]S_{1}(\Delta):=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f: [a,b] [mm]\to \IR[/mm] | f ist eine Gerade auf
> [mm][x_{i},x_{i+1}] \forall[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
i=0,...,n-1 und stetig}
>
> Man zeige: [mm]{f_{0},...,f_{n}}[/mm] ist eine Basis von [mm]S_{1} (\Delta),[/mm]
> wobei die [mm]f_{i}[/mm] definiert sind als
>
> [mm]f_{0}(x)[/mm] = [mm]\begin{cases}
\bruch{x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}, & \mbox{für } x \in [x_{0}, x_{1}] \\
0, & \mbox{ sonst }
\end{cases}[/mm]
>
> [mm]f_{i}(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} \bruch{x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}} , & \mbox{für } x \in [x_{i-1}, x_{i}] \\ \bruch{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_{i}}, & \mbox{für } x \in [x_{i}, x_{i+1}] \\ 0, & \mbox{sonst, i=1,..,n-1} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} \bruch{x-x_{n-1}}{x_{n}-x_{n-1}}, & \mbox{für } x \in [ x_{n-1}, x_{n}] \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Könnte jemand dabei mir helfen?
> Nicht nur lösen, sonder auch erklären!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich würde Dir ja gerne helfen, nur müßtest Du dafür erklären, an welcher Stelle Du hilfsbedürftig bist.
Man möchte ja nicht ohne Not ein ganzes Buch schreiben...
Hast Du verstanden, was diese Zerlegung ist?
Kannst Du mir erklären, welches die Elemente von [mm] S_{1}(\Delta) [/mm] sind?
Wie sehen die [mm] f_j [/mm] aus, was sind das für Gebilde?
Und, einmal angenommen, Dir wäre all das klar:
Was mußt Du zeigen, wenn Du die Basiseigenschaft zeigen möchtest?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Fr 17.11.2006 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich sitz grad über der selben aufgabe, ich hab weder verstanden was diese zerlegung ist, noch was ich da überhaupt machen muss.
wäre nett wenn dass jemand erklären könnte.
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> Hallo,
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> ich sitz grad über der selben aufgabe, ich hab weder
> verstanden was diese zerlegung ist, noch was ich da
> überhaupt machen muss.
Die Zerlegung ist nichts Geheimnisvolles: sie unterteilt das Intervall in n Abschnitte. Zwischen dem Anfangspunkt [mm] a=x_0 [/mm] und dem Endpunkt [mm] b=x_n [/mm] liegen die Punkte [mm] x_1,x_2,...,x_{n-1}, [/mm] der größe nach geordnet, also [mm] x_1
[mm] S_{1}(\Delta) [/mm] enthält nun Funktionen, die auf dem Intervall [a,b] erklärt sind. Aber nicht alle diese Funktionen, sondern nur solche mit einer bestimmten Eigenschaft:
"f ist eine Gerade auf $ [mm] [x_{i},x_{i+1}] \forall [/mm] $ i=0,...,n-1 und stetig"
Was bedeutet das?
Die Funktionen, die in [mm] S_{1}(\Delta) [/mm] liegen, bestehen aus jeweils aus "kleinen Geradenstücken" über den Intervallen [mm] [x_0,x_1], [x_1,x_2], [x_2,x_3],..., [x_{n-1},x_n]. [/mm] Sie sind also jeweils stückweise erklärt.
Nun haben sie eine weitere Eigenschaft: die Stetigkeit.
Die kleinen Geradenstückchen fliegen also nicht wild umher, sondern es ist jeweils der Funktionswert am Endpunkt eines Teilntervalls gleich dem Funktionswert am Anfang des nächsten Teilintervalls.
Aufgemalt ergibt sich für jede der Funktionen in [mm] S_{1}(\Delta) [/mm] eine unregelmäßige Zickzacklinie.
Teil Dir doch einmal das Intervall [0,10] in 4 verschiedengroße Teilintervalle ein und zeichne ein paar solcher Funktionen auf.
Bevor Dir bis hierher nicht alles sonnenklar ist, brauchen wir gar nicht weiter über diese Aufgabe nachzudenken.
Mal ganz unabhängig von dieser Aufgabe: wie stellst Du fest, ob eine Menge von Vektoren Basis eines vorgegebenen Vektorraumes ist?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Fr 17.11.2006 | | Autor: | fruzsi |
Hallo,
ich weiss die folgende (ich bin nicht sicher ob ich es auch verstanden habe):
[a,b] [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \Delta [/mm] : a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n-1} [/mm] < [mm] x_{n} [/mm] = b, n [mm] \in \IN, [/mm] und [mm] f_{0},..., f_{n-1} \in \IR, [/mm] dann ist ein Histogramm definiert durch:
f(x) = [mm] f_{i} [/mm] für x [mm] \in [x_{i},x_{i+1}), [/mm] i = 0,...,n-2,
f(x) = [mm] f_{n-1} [/mm] für x [mm] \in [x_{n-1},b]
[/mm]
Diese Menge wird mit [mm] S_{0}(\Delta) [/mm] bezeichnet
aber ich weiss nicht zum Beispiel ob [mm] S_{0}(\Delta) [/mm] und [mm] S_{1}(\Delta) [/mm] die das gleiche bedeuten
ich weiss auch, dass f eine Gerade ist, wenn man eine Gerade so formuliert: [mm] \IR*v, [/mm] dann bildet der Vektor v eine Basis.
Das ist alles was ich weiss :(
diese ganze Thema ist eigentlich total unklar :(
Fruzsi
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> [a,b] [mm]\in \IR[/mm] und [mm]\Delta[/mm] : a = [mm]x_{0}[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] < ... <
> [mm]x_{n-1}[/mm] < [mm]x_{n}[/mm] = b, n [mm]\in \IN,[/mm] und [mm]f_{0},..., f_{n-1} \in \IR,[/mm]
> dann ist ein Histogramm definiert durch:
> f(x) = [mm]f_{i}[/mm] für x [mm]\in [x_{i},x_{i+1}),[/mm] i = 0,...,n-2,
> f(x) = [mm]f_{n-1}[/mm] für x [mm]\in [x_{n-1},b][/mm]
> Diese Menge wird mit
> [mm]S_{0}(\Delta)[/mm] bezeichnet
> aber ich weiss nicht zum Beispiel ob [mm]S_{0}(\Delta)[/mm] und
> [mm]S_{1}(\Delta)[/mm] die das gleiche bedeuten
Nein, das ist nicht dasselbe.
Die Geradenstücke der Funktionen in in [mm] S_{0}(\Delta) [/mm] sind ja alle parallel zur x-Achse. [mm] S_{0}(\Delta) [/mm] fordert auch keine Stetigkeit.
Vielleicht liest Du Dir mal durch, was ich vivo zu [mm] S_{1}(\Delta) [/mm] geschrieben habe.
>
> ich weiss auch, dass f eine Gerade ist,
Welches f meinst Du? Dein f von oben ist keine Gerade.
wenn man eine
> Gerade so formuliert: [mm]\IR*v,[/mm] dann bildet der Vektor v eine
> Basis.
>
> Das ist alles was ich weiss :(
> diese ganze Thema ist eigentlich total unklar :(
Wenn Du über Vektorräume und Basis nicht mehr weißt als das, wird Dir die Lösung der Aufgabe nicht möglich sein. Sie ist vielleicht sogar verschwendete Zeit, die Du eher zum Nachholen und Erarbeiten des versäumten Stoffes verwenden solltest.
Vektorraum inkl. einem Strauß v. Beispielen, Basis ,Dimension, Erzeugendensystem , linear abhängig dürfen Dir kein Rätsel sein, willst Du der Vorlesung zur Aufgabe weiter folgen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 01:09 Sa 18.11.2006 | | Autor: | fruzsi |
hallo,
da oben steht, ich zitiere es: [mm] S_{1}(\Delta):= [/mm] $ {f: [a,b] $ [mm] \to \IR [/mm] $ | f ist eine Gerade auf $ [mm] [x_{i},x_{i+1}] \forall [/mm] $ i=0,...,n-1 und stetig}
ich habe falsch verstanden, dass f eine Gerade ist? Ich habe diese f gemeint.
bitte hilf mir wieter wie kann ich auf die richtige Spur kommen!
Danke
Fruzai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Sa 18.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> ich habe falsch verstanden, dass f eine Gerade ist? Ich
> habe diese f gemeint.
Wie Angela schon bei der Antwort für vivo richtig geschrieben hat, ist f keine Gerade, sondern eine aneinander-reihung von geradenstücken, die an ihren endpunkten übereinstimmen (also stetig sind).
Man kann sich das f also als eine Zick-zack-linie vorstellen.
>
> bitte hilf mir wieter wie kann ich auf die richtige Spur
> kommen!
hast du dir denn mal ein Beispiel aufgemalt?
weißt du, wie man zeigen müsste, dass die in der Aufgabe definierten Funktionen linear unabhängig sind ?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Sa 18.11.2006 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also ich hab mir jetzt echt lang gedanken darüber gemacht. ich versteh die zerlegung und wie das aussehen soll.
aber ich versteh wirklich nicht wie ich zeigen kann dass fo-fn eine basis von s1 sein soll.
scheinbar muss ich zeigen dass fo-fn linear unabhängig sind, aber wie.
und vorallem wie sieht die basis von geradenstücken aus, ich kann mir des irgendwie nicht vorstellen. ich hab jetzt mehrmals alles was ich über basen habe durchgelesen aber ich kann es nicht auf den hier vorliegenden fall anwenden.
wieso sind die fo-fn die basis?
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> Hallo,
>
> also ich hab mir jetzt echt lang gedanken darüber gemacht.
> ich versteh die zerlegung und wie das aussehen soll.
>
> aber ich versteh wirklich nicht wie ich zeigen kann dass
> fo-fn eine basis von s1 sein soll.
Langsam, langsam!
Verstehst Du jetzt die Funktionen, die in [mm] S_1(\delta) [/mm] enthalten sind?
Kannst Du mal exemplarisch zwei solcher Funktionen angeben?
Wenn Dir das gelingt, konnen wir die [mm] f_i [/mm] ansehen.
Wie sehen die aus? Was sind das für Funktionen?
Mal sie Dir mal auf für Deine Zerlegung des Intervalls [0,10], um sie richtig "beGREIFEN" zu können.
Weit, weit vor der Frage, ob sie eine Basis sind, steht die Frage: sind die [mm] f_i [/mm] überhaupt [mm] \in S_1(\delta)?
[/mm]
>
> scheinbar muss ich zeigen dass fo-fn linear unabhängig
> sind,
Das mußt Du später tun, wenn Dir klar ist, was die [mm] f_i [/mm] sind.
Unabhängig davon: wie weist man lineare Unabhängigkeit nach?
Für "Basis" braucht man außerdem: "Erzeugendensystem".
Wenn Du soweit bist, daß Dir die [mm] f_i [/mm] klar sind, mach folgendes:
Nimm Deine Zerlegung von [0,10] und die beiden Funktionen aus [mm] S_1(\delta), [/mm] die Du inzwischen aufgeschrieben hast. Nun versuche, diese als Linearkombination der [mm] f_i [/mm] darzustellen.
(Vermutlich mußt Du eine Weile basteln. Vom Draufgucken und Lesen kriegt "man" das nicht. Ich jedenfalls nicht.)
> und vorallem wie sieht die basis von geradenstücken aus,
> ich kann mir des irgendwie nicht vorstellen. ich hab jetzt
> mehrmals alles was ich über basen habe durchgelesen aber
> ich kann es nicht auf den hier vorliegenden fall anwenden.
>
> wieso sind die fo-fn die basis?
Aus dem Grund aus dem alles. was eine Basis ist, eine Basis ist: linear unabhängig und Erzeugendensystem.
Das muß schließlich gezeigt werden. Aber zuvor solltest Du die "Zutaten" verstehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 18.11.2006 | | Autor: | vivo |
Also hab etz mal versucht, das so zu machen wie du mir geraten hast.
aber scheinbar hab ich doch nicht verstanden, was in S1 für funktionen drin sind. durch was sind die denn gegeben? ok es sind stetige geraden stücke.
ich hab es so verstanden, dass ein geraden stück von x1 bis x2 geht und das nächste von x2 bis x3 usw.
aber wie kann ich jetzt wenn ich [0,10] zerlege die einzelnen funktionen angeben?
ein geradenstück geht dann von mir aus von 3 bis 5 aber mit welcher steigung? ich glaub ich bin da voll auf dem holzweg!
ok wenn ich verstehen würde, wie die Funktionen aussehen, dann müsste ich zeigen, dass diese durch linearkombinationen von fo-fn darstellbar sind, also dass fo-fn ein erzeugendessystem ist und dann müsste ich noch zeigen, dass fo-fn voneinander linear unabhängig sind!
ich weiß zwar noch nicht genau wie das gehen soll, da kommt man vielleicht aber drauf wenn man die einzelnen funktionen in S1 versteht.
also die fi sind ja wieder kleine geradenstücke, oder?
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>
> aber scheinbar hab ich doch nicht verstanden, was in S1 für
> funktionen drin sind. durch was sind die denn gegeben?
In [mm] S_{1}(\Delta) [/mm] sind alle Funktionen enthalten, die aus irgendwelchen Geradenstückchen über den entsprechenden Intervallen bestehen mit der Bedingung: stetig, also das Ende des einen Schnippels=Anfang des nächsten.
Nehmen wir das Intervall [-4,7], teilen es in [-4,3], [3,5], [5, 6],[6 ,7].
Jetzt machen wir uns eine Funktion f:
[mm] f(x):=\begin{cases} 3x+2 {für} x \in [-4,3] \\ -4x+23 {für} x \in [3,5] \\ -15x -2 {für} [5, 6] \\ -92x {für} x \in [6 ,7] \end{cases}
[/mm]
> ok wenn ich verstehen würde, wie die Funktionen aussehen,
> dann müsste ich zeigen, dass diese durch
> linearkombinationen von fo-fn darstellbar sind, also dass
> fo-fn ein erzeugendessystem ist und dann müsste ich noch
> zeigen, dass fo-fn voneinander linear unabhängig sind!
Genau.
> also die fi sind ja wieder kleine geradenstücke, oder?
Schau sie Dir genau an. Sie sind jeweils zusammengesetzt aus mehreren Stücken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Sa 18.11.2006 | | Autor: | fruzsi |
Hallo,
wie es vorgeschlagen wurde, hab ich das Intervall [0,10] in 4 Teilintervalle geteilt. Die Funktionen habe aufgezeichnet, war wirklich hilfsreich, danke!
Die Summe der Funktionen ergibt eine Gerade parallel zur x-Achse.
Mir ist es aufgefallen, dass die Funktionen nebeneinander das gleiche Teilintervall "benutzen". Mathematisch formuliert: die Funktionen $ [mm] f_i [/mm] $ und$ [mm] f_i+1 [/mm] $ sind überlappend im Intervall $ [mm] [x_{i},x_{i+1}] [/mm] $. Die Summe für eine beliebige x in diesem Intervall kann so formuliert werden:
$ [mm] f_{i}(x) [/mm] + [mm] f_{i+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] + [mm] \bruch{x-x_{i+1-1}}{x_{i+1}-x_{i+1-1}} [/mm] = [mm] \bruch{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] + [mm] \bruch{x-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] = [mm] \bruch{x_{i+1}-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] = 1$
Wenn $ x = [mm] x_{i} [/mm] $
$ [mm] f_{i}(x_{i}) [/mm] + [mm] f_{i+1}(x_{i}) [/mm] = [mm] \bruch{x_{i+1}-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] + [mm] \bruch{x_{i}-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] = [mm] \bruch{x_{i+1}-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] + 0 = 1 = [mm] f_{i}(x_{i})$
[/mm]
Wenn $ x = [mm] x_{i+1} [/mm] $
$ [mm] f_{i}(x_{i+1}) [/mm] + [mm] f_{i+1}(x_{i+1}) [/mm] = [mm] \bruch{x_{i+1}-x_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] + [mm] \bruch{x_{i+1}-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] = 0 + [mm] \bruch{x_{i+1}-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}} [/mm] = 1 = [mm] f_{i+1}(x_{i+1})$
[/mm]
Das ergibt eine Matrix (Zeilen: $ [mm] x_{i} [/mm] $, $ i [mm] \in [/mm] [0,n]$, Spalten: $ [mm] f_{i}$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] [0,n]$, Beispiel für $ n = 3 $):
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Die Spaltenvektoren ($ [mm] f_{i} [/mm] $ sind linear unabhängig, Konsequenz: die bilden eine Basis von $ [mm] S_{1}(\Delta) [/mm] $.
Was ist eure Meinung, ist es in Ordnung oder ist es völlig falsch?
Grüsse
Fruzsi
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>
>
> Die Summe der Funktionen ergibt eine Gerade parallel zur
> x-Achse.
Das stimmt.
Für die Aufgabe interessiert aber nicht nur einfach die Summe, sondern es interessieren die Linearkombinationen
[mm] a_0f-0+a_1f_1+a_2f_2+...+a_nf_n.
[/mm]
Die Fragen: 1. Kannst Du so jedes Element aus [mm] S_1(\Delta) [/mm] erzeugen?
2. Sind die [mm] f_i [/mm] linear unabhängig?
Ich würde mir auch hier, wie Du's zuvor getan hast, erstmal [mm] a_if_i+a_jf_j [/mm] anschauen, um einen Eindruck zu bekommen.
Gruß v. Angela
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