Basen, Kern, Bild < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 Do 23.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Bestimmen der Basen von Kern und Bild einer 2x3 Matrix:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 8 & 1 } [/mm] |
hallo zusammen,
kann mir jemand meine Fragen beantworten?
- Der Kern ist die Abbildung der Matrix auf die Nullmatrix?
- Dh. ich kann das Gleichungssystem auf Null lösen:
[mm] 3x_{1}+ x_{2}+7x_{3}=0
[/mm]
[mm] 2x_{1}+8x_{2}+x_{3}=0
[/mm]
Und die Werte, die ich für die [mm] x_{1,2,3} [/mm] erhalte ist der Kern?
- Nun wie bestimme ich die Basis?
z.b. erhalte ich für für die [mm] x_{1,2,3} [/mm] Werte: 0,0,0 (nur angenommen, habe es noch nicht berechnet)
Ist dann die Basis nicht auch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}?
[/mm]
Nun zum Bild da habe verstehe ich jetzt nicht, was ich aus der Matize ausrechnen muss.
Hoffe jemand kann mir helfen.
Gruss
Ps. habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
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> Bestimmen der Basen von Kern und Bild einer 2x3 Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 8 & 1 }[/mm]
> hallo zusammen,
>
> kann mir jemand meine Fragen beantworten?
>
> - Der Kern ist die Abbildung der Matrix auf die
> Nullmatrix?
Hallo,
der Kern ist die Menge aller [mm] x\in \IR^2, [/mm] für welche [mm] \pmat{ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 8 & 1 }x= [/mm] Nullmatrix gilt.
Mit [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2} [/mm] ist der Kern also der Lösungsraum von
> [mm]3x_{1}+ x_{2}+7x_{3}=0[/mm]
> [mm]2x_{1}+8x_{2}+x_{3}=0[/mm]
>
> Und die Werte, die ich für die [mm]x_{1,2,3}[/mm] erhalte ist der
> Kern?
Ja. Die Menge aller Lösungen ist der Kern.
>
> - Nun wie bestimme ich die Basis?
Das kann ich Dir besser zeigen, wenn Du das Gleichungssystem gelöst hast. Mach ds mal, dann sehen wir weiter.
>
> z.b. erhalte ich für für die [mm]x_{1,2,3}[/mm] Werte: 0,0,0 (nur
> angenommen, habe es noch nicht berechnet)
> Ist dann die Basis nicht auch [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}?[/mm]
Nee Du, das kann doch keine basis sein, denn [mm] (\vektor{0 \\ 0 \\ 0}) [/mm] ist nicht linear unabhängig. (Überleg' Dir, warum)
Es sit ja auch sicher [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] nicht die einzige Lösung der Gleichung. Da sind doch noch mehr Elemente in der Lösungsmenge.
>
>
> Nun zum Bild da habe verstehe ich jetzt nicht, was ich aus
> der Matize ausrechnen muss.
Matrix heißt das. ![[]](/images/popup.gif) Matrize ist was anderes.
Das Bild der Matrix ist die lineare Hülle ihrer Spalten.
Gruß v. Angela
>
> Hoffe jemand kann mir helfen.
>
> Gruss
>
> Ps. habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Do 23.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Hallo,
>
> der Kern ist die Menge aller [mm]x\in \IR^2,[/mm] für welche [mm]\pmat{ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 8 & 1 }x=[/mm]
> Nullmatrix gilt.
>
> Mit [mm]x:=\vektor{x_1\\x_2}[/mm] ist der Kern also der Lösungsraum
> von
>
> > [mm]3x_{1}+ x_{2}+7x_{3}=0[/mm]
> > [mm]2x_{1}+8x_{2}+x_{3}=0[/mm]
> >
> > Und die Werte, die ich für die [mm]x_{1,2,3}[/mm] erhalte ist der
> > Kern?
>
> Ja. Die Menge aller Lösungen ist der Kern.
>
> >
> > - Nun wie bestimme ich die Basis?
>
> Das kann ich Dir besser zeigen, wenn Du das
> Gleichungssystem gelöst hast. Mach ds mal, dann sehen wir
> weiter.
Also ich habe für das Gleichungssystem folgendes erhalten: [mm] x_{1}=-\bruch{5}{2}t, x_{2}=\bruch{1}{2}t, x_{3}=t [/mm] und wie komme ich jetzt zur Basis?
>
> >
> > z.b. erhalte ich für für die [mm]x_{1,2,3}[/mm] Werte: 0,0,0 (nur
> > angenommen, habe es noch nicht berechnet)
> > Ist dann die Basis nicht auch [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}?[/mm]
>
> Nee Du, das kann doch keine basis sein, denn [mm](\vektor{0 \\ 0 \\ 0})[/mm]
> ist nicht linear unabhängig. (Überleg' Dir, warum)
>
> Es sit ja auch sicher [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] nicht die
> einzige Lösung der Gleichung. Da sind doch noch mehr
> Elemente in der Lösungsmenge.
> >
> >
> > Nun zum Bild da habe verstehe ich jetzt nicht, was ich aus
> > der Matize ausrechnen muss.
>
> Matrix heißt das.
> Matrize ist was
> anderes.
uuups war ein tippfehler, wollte quasi die Mehrzahl von Matrix nehmen 
>
> Das Bild der Matrix ist die lineare Hülle ihrer Spalten.
verstehe nicht was Du unter linearer Hülle der Spalte verstehst
>
> Gruß v. Angela
> >
> > Hoffe jemand kann mir helfen.
> >
> > Gruss
> >
> > Ps. habe die Frage auf kein anderes Forum gestellt.
>
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> Also ich habe für das Gleichungssystem folgendes erhalten:
> [mm]x_{1}=-\bruch{5}{2}t, x_{2}=\bruch{1}{2}t, x_{3}=t[/mm] und wie
> komme ich jetzt zur Basis?
Hallo,
Du weißt nun, daß [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-\bruch{5}{2}t\\\bruch{1}{2}t\\t}=t*\vektor{-\bruch{5}{2}\\\bruch{1}{2}\\1} [/mm] für jedes [mm] t\in \IR [/mm] eine Lösung ist.
Jeder Lösungsvektor hat also diese Gestalt.
Na, und mit welchem Vektor kannst Du diese Lösungsvektoren durch Linearkombination erzeugen?
Daß das linear unabhängig ist, sieht man ja gleich.
Also: Basis.
> > Das Bild der Matrix ist die lineare Hülle ihrer Spalten.
> verstehe nicht was Du unter linearer Hülle der Spalte
> verstehst
Aha. Das kann nur daran liegen, daß der Begriff nicht dran war. (Vielleicht: span?)
Egal. Wir machen's anders.
Das Bild der Matrix M ist wie folgt definiert: [mm] BildM:=\{ Mx | x\in \IR^3\}.
[/mm]
In Worten: die Menge dessen, was man erhält, wenn man M auf jeden Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] anwendet.
Und das schauen wir uns nun an:
Sei [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}.
[/mm]
Es ist $ [mm] \pmat{ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 8 & 1 } $*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}= [/mm] ... [mm] =x_1*\vektor{...\\...} [/mm] + [mm] x_2*\vektor{...\\...} +x_3*\vektor{...\\...} [/mm] .
Ein Erzeugendensystem des Bildes siehst Du damit schnell.
Wenn Du aus diesem eine maximale linear unabhängige Menge abfischst, hast Du eine Basis des Bildes gefunden.
Gruß v. Angela
P.S.: Vergleiche, ob meine Def. von Bild M zu dem paßt, was Ihr in der Vorlesung notiert habt. Man könnte das nämlcih verschieden formulieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Do 23.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
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> > Also ich habe für das Gleichungssystem folgendes erhalten:
> > [mm]x_{1}=-\bruch{5}{2}t, x_{2}=\bruch{1}{2}t, x_{3}=t[/mm] und
> wie
> > komme ich jetzt zur Basis?
>
> Hallo,
>
> Du weißt nun, daß
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-\bruch{5}{2}t\\\bruch{1}{2}t\\t}=t*\vektor{-\bruch{5}{2}\\\bruch{1}{2}\\1}[/mm]
> für jedes [mm]t\in \IR[/mm] eine Lösung ist.
>
> Jeder Lösungsvektor hat also diese Gestalt.
>
> Na, und mit welchem Vektor kannst Du diese Lösungsvektoren
> durch Linearkombination erzeugen?
>
> Daß das linear unabhängig ist, sieht man ja gleich.
>
> Also: Basis. ah super, das hab ich gedacht, dass der Kern auch gleich die Basis ist
>
>
> > > Das Bild der Matrix ist die lineare Hülle ihrer Spalten.
> > verstehe nicht was Du unter linearer Hülle der Spalte
> > verstehst
>
> Aha. Das kann nur daran liegen, daß der Begriff nicht dran
> war. (Vielleicht: span?) doch span hatten wir, aber unsere Vorlesungen sind so schlimm, dass man eben nichts versteht und ich alles mit Büchern mache! Und Das Bild ist bei uns nur so definiert: ImF: = F(V), wenn F: [mm] V\toW, [/mm] aber eben, dass ist natürlich eine Definition mit der ich nicht viel anfangen kann, vorallem nicht, wenn ich noch eine Matrix habe und wir noch nie so eine Aufgabe als Beispiel gelöst haben
>
> Egal. Wir machen's anders.
>
> Das Bild der Matrix M ist wie folgt definiert: [mm]BildM:=\{ Mx | x\in \IR^3\}.[/mm]
>
> In Worten: die Menge dessen, was man erhält, wenn man M auf
> jeden Vektor aus [mm]\IR^3[/mm] anwendet.
>
> Und das schauen wir uns nun an:
>
> Sei [mm]x:=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}.[/mm]
>
> Es ist [mm]\pmat{ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 8 & 1 }[/mm][mm] *\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=[/mm]
> ... [mm]=x_1*\vektor{...\\...}[/mm] + [mm]x_2*\vektor{...\\...} +x_3*\vektor{...\\...}[/mm]
> .
>
> Ein Erzeugendensystem des Bildes siehst Du damit schnell.
>
> Wenn Du aus diesem eine maximale linear unabhängige Menge
> abfischst, hast Du eine Basis des Bildes gefunden. sorry nochmal, was meinst Du mit maximale linear unab. Menge abfischst?
>
> Gruß v. Angela
>
> P.S.: Vergleiche, ob meine Def. von Bild M zu dem paßt, was
> Ihr in der Vorlesung notiert habt. Man könnte das nämlcih
> verschieden formulieren.
>
>
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> > > Also ich habe für das Gleichungssystem folgendes erhalten:
> > > [mm]x_{1}=-\bruch{5}{2}t, x_{2}=\bruch{1}{2}t, x_{3}=t[/mm]
> und
> > wie
> > > komme ich jetzt zur Basis?
> >
> > Hallo,
> >
> > Du weißt nun, daß
> >
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-\bruch{5}{2}t\\\bruch{1}{2}t\\t}=t*\vektor{-\bruch{5}{2}\\\bruch{1}{2}\\1}[/mm]
> > für jedes [mm]t\in \IR[/mm] eine Lösung ist.
> >
> > Jeder Lösungsvektor hat also diese Gestalt.
> >
> > Na, und mit welchem Vektor kannst Du diese Lösungsvektoren
> > durch Linearkombination erzeugen?
> >
> > Daß das linear unabhängig ist, sieht man ja gleich.
> >
> Also: Basis. ah super, das hab ich gedacht, dass der Kern
> auch gleich die Basis ist
Hallo,
das stimmt nicht.
In L sind ja ganz viele Vektoren, nämlcih alle, die man per Linearkombination aus dem einen bekommt.
Die Basis hingegen erhält nur diesen einen Vektor.
> > Aha. Das kann nur daran liegen, daß der Begriff nicht dran
> > war. (Vielleicht: span?)
> doch span hatten wir,
Gut. Das Bild der Matrix ist der Span ihrer Spalten, also die menge aller Linearkombinationen, die man aus den Spalten bilden kann.
Du siehst das unten.
> aber unsere
> Vorlesungen sind so schlimm, dass man eben nichts versteht
> und ich alles mit Büchern mache!
Daß das Besuchen (auch einer sehr guten!) Vorlesung fürs Verständnis nicht reicht, ist ganz natürlich.
Das Nacharbeiten gehört dazu. Das ist studieren.
Und Das Bild ist bei uns
> nur so definiert: ImF: = F(V), wenn F: [mm]V\toW,[/mm] aber eben,
> dass ist natürlich eine Definition mit der ich nicht viel
> anfangen kann, vorallem nicht, wenn ich noch eine Matrix
> habe und wir noch nie so eine Aufgabe als Beispiel gelöst
> haben
Aha, Das ist genau das, was ich gesagt und unten aufgeschrieben habe.
> > Egal. Wir machen's anders.
> >
> > Das Bild der Matrix M ist wie folgt definiert: [mm]BildM:=\{ Mx | x\in \IR^3\}.[/mm]
>
> >
> > In Worten: die Menge dessen, was man erhält, wenn man M auf
> > jeden Vektor aus [mm]\IR^3[/mm] anwendet.
> >
> > Und das schauen wir uns nun an:
> >
> > Sei [mm]x:=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}.[/mm]
> >
> > Es ist [mm]\pmat{ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 8 & 1 }[/mm][mm] *\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=[/mm]
> > ... [mm]=x_1*\vektor{...\\...}[/mm] + [mm]x_2*\vektor{...\\...} +x_3*\vektor{...\\...}[/mm]
> > .
> >
> > Ein Erzeugendensystem des Bildes siehst Du damit schnell.
> >
> > Wenn Du aus diesem eine maximale linear unabhängige Menge
> > abfischst, hast Du eine Basis des Bildes gefunden.
sorry
> nochmal, was meinst Du mit maximale linear unab. Menge
> abfischst?
Schreib jetzt erstmal die drei Vektoren auf, von denen ich rede.
Wenn die l.u. sind, ist's schon eine Basis.
Wenn die linear abhängig sind, guck nach, ob Du zwei unabhängige findest. Das wäre dann eine Basis.
Wenn Du keine zwei linear unabhängigen findest, (also alle Vektoren Vielfache voneinander sind), nimm einen von ihnen (aber keinen Nullvektor). Das ist dann die Basis.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Do 23.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Liebe Angela,
also für den zweiten Teil
Ein erzeugendes System des Bildes der Matrix ist:
[mm] x_{1}\vektor{3 \\ 2}+x_{2}\vektor{1 \\ 8}+x_{3}\vektor{7 \\ 1}
[/mm]
Und jetzt habe ich gecheckt ob diese Vektoren l.u. sind und sie sind l.u., dass heisst nun die Basis ist: [mm] \{\vektor{3 \\ 2},\vektor{1 \\ 8},\vektor{7 \\ 1} \}
[/mm]
Stimmt das so?
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> Liebe Angela,
>
> also für den zweiten Teil
>
> Ein erzeugendes System des Bildes der Matrix ist:
>
> [mm]x_{1}\vektor{3 \\ 2}+x_{2}\vektor{1 \\ 8}+x_{3}\vektor{7 \\ 1}[/mm]
Hallo,
nein, das Erzeugendensystem ist
[mm] \{\vektor{3 \\ 2}, \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1}\}.
[/mm]
>
> Und jetzt habe ich gecheckt ob diese Vektoren l.u. sind und
> sie sind l.u.,
Wie hast Du denn das herausgeunden?
Es ist ja der Raum, der von [mm] \{\vektor{3 \\ 2}, \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1}\} [/mm] erzeugt wird, ein Unterraum des [mm] \IR^2.
[/mm]
Der [mm] \IR^2 [/mm] hat die Dimension 2.
Kann dann, wie Du behauptest, ein Unterraum die Dimension 3 haben?
Gruß v. Angla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Do 23.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> > Und jetzt habe ich gecheckt ob diese Vektoren l.u. sind und
> > sie sind l.u.,
>
> Wie hast Du denn das herausgeunden?
>
>
> Es ist ja der Raum, der von [mm]\{\vektor{3 \\ 2}, \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1}\}[/mm]
> erzeugt wird, ein Unterraum des [mm]\IR^2.[/mm]
>
> Der [mm]\IR^2[/mm] hat die Dimension 2.
>
> Kann dann, wie Du behauptest, ein Unterraum die Dimension 3
> haben?
>
> Gruß v. Angla
uiuiui jetzt verstehe ich gerade gar nichts mehr :-(, jetzt muss ich nochmals hinter die bücher, aber trotzdem danke viel mal, hoffe komme so weiter...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Do 23.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
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> [mm]\{\vektor{3 \\ 2}, \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1}\}.[/mm]
>
wie prüf ich ob diese vektoren lin. unabhängig sind?
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> >
> > [mm]\{\vektor{3 \\ 2}, \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1}\}.[/mm]
> >
>
> wie prüf ich ob diese vektoren lin. unabhängig sind?
Hallo,
einen Grund, warum man ohne rechnen weiß, daß sie abhängig sind, hatte ich vorhin ja schon gesagt.
Aber natürlich kann man das ausrechnen - und es ist sehr, sehr wichtig, daß man weiß, wie das geht.
Wie habt Ihr denn lineare Unabhängigkeit definiert? Lies das mal nach, bevor Du rechnest.
Die Familie [mm] (\vektor{3 \\ 2}, \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1}) [/mm] heißt linear unabhängig genau dann, wenn aus
[mm] a\vektor{3 \\ 2}+b\vektor{1 \\ 8}+c\vektor{7 \\ 1}=\vektor{0\\0} [/mm] folgt, daß a=b=c=0 ist.
Du hast also das aus [mm] a\vektor{3 \\ 2}+b\vektor{1 \\ 8}+c\vektor{7 \\ 1}=\vektor{0\\0} [/mm] entstehende Gleichungssystem zu lösen.
Hat es nur die eine Lösung a=b=c=0, dann in die Familie unabhängig,
gibt es noch eine andere Lösung, ist sie abhängig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Gegeben die Matrix:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 8 & 1 }
[/mm]
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Guten Morgen Angela,
ah dann war ich auf dem richtigen Weg 
War gestern dann total verwirrt, wobei ich eben eigentlich alles verstanden habe was wir bis jetzt an Theorie bearbeitet haben.
Darf ich Dich nochmals bitten zu überprüfen? Ich möchte das Bild und die Basis bestimmen:
Bild = [mm] \{\vektor{3 \\ 2}, \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1} \}
[/mm]
Nun prüfe ich folgendes Gleichungssystem, damit ich weiss ob diese Vektoren l.u. sind oder nicht:
a [mm] \vektor{3 \\ 2}, b\vektor{1 \\ 8}, c\vektor{7 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
also:
3a + b + 7c = 0
2a + 8b + c = 0
für c setze ich ein Parameter: c = t
nun ich lasse die Rechnungen weg
b = [mm] \bruch{1}{2}t, a=-\bruch{5}{2}t
[/mm]
also habe ich: [mm] t\vektor{-\bruch{5}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ 1}
[/mm]
so sehe ich dass die vektoren lin. abhängig sind!
Das heisst es gibt folgende Basen für das Bild
[mm] B_{1}= \{ \vektor{3 \\ 2},\vektor{1 \\ 8} \}
[/mm]
[mm] B_{2}= \{ \vektor{3 \\ 2},\vektor{7 \\ 1} \}
[/mm]
[mm] B_{3}= \{ \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1} \}
[/mm]
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> Gegeben die Matrix:
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 8 & 1 }[/mm]
>
> Darf ich Dich nochmals bitten zu überprüfen? Ich möchte das
> Bild und die Basis bestimmen:
>
> Bild = [mm]\{\vektor{3 \\ 2}, \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1} \}[/mm]
>
> Nun prüfe ich folgendes Gleichungssystem, damit ich weiss
> ob diese Vektoren l.u. sind oder nicht:
>
> a [mm]\vektor{3 \\ 2}, b\vektor{1 \\ 8}, c\vektor{7 \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> [...]
>
> also habe ich: [mm]t\vektor{-\bruch{5}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ 1}[/mm]
>
> so sehe ich dass die vektoren lin. abhängig sind!
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts, die Folgerung, die Du ziehst, ist richtig.
>
> Das heisst es gibt folgende Basen für das Bild
>
> [mm]B_{1}= \{ \vektor{3 \\ 2},\vektor{1 \\ 8} \}[/mm]
>
> [mm]B_{2}= \{ \vektor{3 \\ 2},\vektor{7 \\ 1} \}[/mm]
>
> [mm]B_{3}= \{ \vektor{1 \\ 8}, \vektor{7 \\ 1} \}[/mm]
Es gibt noch viel mehr Basen von dieser Menge. Die enthalten dann andere Vektoren als die drei, die Du gerade am Wickel hast.
Für die Hausübung tue folgendes:
Zeige, daß die drei linear abhängig sind.
Zeige eine Deiner drei Mengen vor und weise nach, daß die enthaltenene Vektoren unabhängig sind.
Da die drei linear abhängig waren, hast Du nun eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Erzeugendensystems gefunden, also eine Basis.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Liebe Angela
das mit der Rechnung sollte stimmen, ging wirklich nur um das Verständnis. Und jetzt verstehe ich es.
Vielen lieben Dank für Deine Geduld.
Liebe Grüsse,
Nadine
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