Basen, Dimensionen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Do 27.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Bsp.: Hallo kann mir jemand sagen wie ich an das Problem herangehe. Hab echt keinen Tau.
geg.: [mm] $U_{1} [/mm] := [mm] \{(x,y,z)|x + y + z = 0\}$ [/mm] ist ein Unterraum von [mm] $\IR³$
[/mm]
Bestimmen sie jeweils eine Basis von [mm] $U_{1}$ [/mm] und die Dimension.
Ich weiß was die Begriffe Basis und Dimension bedeuten und kann auch überprüfen warum eine vorgegebene Basis stimmt oder nicht aber selbst eine bestimmen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Do 27.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reaper!
> Bsp.: Hallo kann mir jemand sagen wie ich an das Problem
> herangehe. Hab echt keinen Tau.
> geg.: [mm]U_{1} := \{(x,y,z)|x + y + z = 0\}[/mm] ist ein Unterraum
> von [mm]\IR³[/mm]
>
> Bestimmen sie jeweils eine Basis von [mm]U_{1}[/mm] und die
> Dimension.
> Ich weiß was die Begriffe Basis und Dimension bedeuten und
> kann auch überprüfen warum eine vorgegebene Basis stimmt
> oder nicht aber selbst eine bestimmen.
Das solltest du aber sogar aus der Schule kennen. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") Dein Unterraum ist eine (echte) Ebene im [mm] $\IR^3$ [/mm] (durch den Ursprung); und dafür braucht man halt zwei (linear unabhängige) Richtungsvektoren (das so als geometrische "Beleuchtung" deiner Aufgabe; das ist noch kein Beweis, dass eine Basis von [mm] $U_1$ [/mm] genau zwei Vektoren hat; jedenfalls wenn man noch nichts über Ebenen in der Vorlesung gelernt hat). Naja, machen wir es mal einfach:
Wir wählen mal einen Vektor aus [mm] $U_1$, [/mm] z.B.:
$a:=(1,-1,0)$ (Es gilt$a [mm] \in U_1$, [/mm] da $1+(-1)+0=0$.)
Jetzt wählen wir mal einen zweiten:
$b:=(1,0,-1)$ (Es gilt$b [mm] \in U_1$, [/mm] da $1+0+(-1)=0$.)
Du wirst schnell einsehen, dass [mm] $\{a,b\}$ [/mm] eine linear unabhängige (Teil-)Menge (von [mm] $U_1$) [/mm] ist (m.a.W.: $a,b$ sind linear unabhängig). Jetzt zeige (z.B.) noch, dass [mm] $\{a,b\}$ [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] $U_1$ [/mm] ist, und du hast deine Basis! Gar nicht mal so schwer, oder? 
PS: 1. Um allgemein an solch eine Aufgabe ranzugehen, erinnere dich mal an den Basisergänzungssatz!
2. Ich würde übrigens noch nachrechnen, dass [mm] $U_1$ [/mm] tatsächlich ein Unterraum von [mm] $\IR^3$ [/mm] (mit gewöhnlicher Addition und Skalarmultipl. versehen) ist. Kann ja jeder behaupten, dass [mm] $U_1$ [/mm] ein Unterraum ist (es ist aber tatsächlich einer)! 
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 27.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Mann war ja gar nicht mal so schwer ...danke!
Dimension ist 2 und die Basen sind halt die Vektoren die du mir schon genannt hast.
So jetzt hätte ich noch eine andere Frage die sich mit dem Schneiden 2er und 3er Unterräume auseinandersetzt.
geg.: [mm] U_{1} [/mm] von vorhin und
[mm] $U_{2} [/mm] := {(x,y,z)|x-y+z = 0}$ sowie
[mm] $U_{3} [/mm] := {(x,y,z)|x + y -z = 0}$ Unterräume von $ [mm] \IR^{3}$
[/mm]
Will ich jetzt [mm] $U_{1}$ [/mm] mit [mm] $U_{2}$ [/mm] schneiden so kann ich das Ganze ja als lineares Gleichungssystem aufschreiben.
1 1 1 = 0
1 -1 1 = 0
So wenn ich es jetzt auflöse so bekomme ich x = 0, y = 0, z = 0
heraus was glaube ich nicht stimmt denn so habe ich ja überprüft dass die Vektoren linear unabhängig sind. Und tatsächlich muss man nach meiner Erinnerung nach +(2x, y = 0, 2z) statt - wie vorhin rechnen oder? Wenn ja warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reaper!
> Mann war ja gar nicht mal so schwer ...danke!
>
> Dimension ist 2 und die Basen sind halt die Vektoren die du
> mir schon genannt hast.
>
> So jetzt hätte ich noch eine andere Frage die sich mit dem
> Schneiden 2er und 3er Unterräume auseinandersetzt.
> geg.: [mm]U_{1}[/mm] von vorhin und
> [mm]U_{2} := {(x,y,z)|x-y+z = 0}[/mm] sowie
> [mm]U_{3} := {(x,y,z)|x + y -z = 0}[/mm] Unterräume von [mm]\IR^{3}[/mm]
>
> Will ich jetzt [mm]U_{1}[/mm] mit [mm]U_{2}[/mm] schneiden so kann ich das
> Ganze ja als lineares Gleichungssystem aufschreiben.
>
> 1 1 1 = 0
> 1 -1 1 = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , weil [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \in (U_1 \cap U_2)$ $\gdw$
[/mm]
[ (I) [mm] $x_1+x_2+x_3=0$ [/mm] (wegen $x [mm] \in U_1$) [/mm] und
(II) [mm] $x_1-x_2+x_3=0$ [/mm] (wegen $x [mm] \in U_2$) [/mm] ]
> So wenn ich es jetzt auflöse so bekomme ich x = 0, y = 0, z
> = 0
> heraus was glaube ich nicht stimmt denn so habe ich ja
> überprüft dass die Vektoren linear unabhängig sind. Und
> tatsächlich muss man nach meiner Erinnerung nach +(2x, y =
> 0, 2z) statt - wie vorhin rechnen oder? Wenn ja warum?
Da solltest du den Rechenweg angeben, sonst kann ich deinen Rechenfehler nicht sehen.
Jedenfalls:
(I)-(II) ergibt:
[mm] $2x_2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star)$ $x_2=0$.
[/mm]
Setzen wir [mm] $(\star)$ [/mm] in (I) (oder (II)) ein, so folgt:
[mm] $x_1=-x_3$.
[/mm]
Also:
[mm]U_1 \cap U_2=\left\{\vektor{x_1\\0\\-x_1}:\;x_1 \in \IR\right\}\;\,\,\left(=\left\{\vektor{2x_1\\0\\-2x_1}:\;x_1 \in \IR\right\}\right)[/mm].
Viele Grüße,
Marcel
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