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Basen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Sa 19.05.2012
Autor: sunnygirl26

Aufgabe
Seien [mm] V1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, V2=\vektor{0 \\ 2 \\ 3}, [/mm] V3= [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 5} \in \IF_{7} [/mm] ^(3x1)
1. Zeige, dass B := (V1; V2; V3) eine Basis von [mm] \IF_{7} [/mm] ^(3x1) ist

2. Sei (e1; e2; e3) = ((I3)-;1; (I3)-;2; (I3)-;3) die Standardbasis von [mm] \IF_{7}^3x1 [/mm] Welche Vi
ergänzen (e1; e2) bzw. (e1; e3) bzw. (e2; e3) zu einer Basis von [mm] \IF_{7} [/mm] ^(3x1)
3. Bestimme alle 1 [mm] \le [/mm] i; j [mm] \le [/mm] 3 so, dass B nach Austauch von Vi durch ej eine Basis von [mm] \IF_{7} [/mm] ^(3x1) ist

So zu 1. hab ich mir überlegt, das ich ja mit den Vektoren eine Matrix bilden kann und diese dann löse und wenn für alle ti=0 rauskommt ist B eine Basis oder?

Zu 2. ei sind ja die einheitsvektoren und ich kann doch auch da wieder für alle Paare eine Matrix aufstellen mit der lösung (0,0,0) o0der?
3. Hier weiß ich leider nicht welche Vektoren Vi mit 1 [mm] \le [/mm] i gemeint sind, da ich ja nur die Vektoren v1,v2,v3 kenne

        
Bezug
Basen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 So 20.05.2012
Autor: angela.h.b.

Hallo,

bitte etwas mehr Sorgfalt bei der Präsentation der Aufgaben!
Mal abgesehen von diversen Schönheitsfehlern erschließt sich mir nicht, was in  2. mit ((I3)-;1; (I3)-;2; (I3)-;3) gemeint sein soll.


> Seien [mm]V1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, V2=\vektor{0 \\ 2 \\ 3},[/mm] V3=
> [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 5} \in \IF_{7}[/mm] ^(3x1)
>  1. Zeige, dass B := (V1; V2; V3) eine Basis von [mm]\IF_{7}[/mm]
> ^(3x1) ist
>  
> 2. Sei (e1; e2; e3) = ((I3)-;1; (I3)-;2; (I3)-;3) die
> Standardbasis von [mm]\IF_{7}^3x1[/mm] Welche Vi
>  ergänzen (e1; e2) bzw. (e1; e3) bzw. (e2; e3) zu einer
> Basis von [mm]\IF_{7}[/mm] ^(3x1)
>  3. Bestimme alle 1 [mm]\le[/mm] i; j [mm]\le[/mm] 3 so, dass B nach Austauch
> von Vi durch ej eine Basis von [mm]\IF_{7}[/mm] ^(3x1) ist


>  So zu 1. hab ich mir überlegt, das ich ja mit den
> Vektoren eine Matrix bilden kann und diese dann löse und
> wenn für alle ti=0 rauskommt ist B eine Basis oder?

Hallo,

Matrizen kann man nicht lösen. Lösen kann man Gleichungssysteme...

Ich verstehe schon, was Du zu tun gedenkst, und Du planst es richtig:
Du löst das LGS, welches sich aus [mm] t_1v_1+t_2v_2+t_3v_3=0 [/mm] ergibt mit dem Gaußverfahren in Matrizenform, und wenn [mm] t-1=t_2=t_3=0 [/mm] die einzige Lösung ist, ist B eine Basis.
Du mußt beim Rechnen natürlich daran denken, daß Du Dich im  [mm] $\IF_{7}$ [/mm] bewegst.


> Zu 2. ei sind ja die einheitsvektoren

so würde ich das zunächst verstehen, aber was soll das Gekrakel hinter [mm] (e_1, e_2, e_3)? [/mm]

> und ich kann doch
> auch da wieder für alle Paare eine Matrix aufstellen mit
> der lösung (0,0,0) o0der?

Ich denke, Du meinst es richtig, genau wissen kann man es nicht.
Du solltest unbedingt daran arbeiten, das, was Du ausdrücken möchtest, präzise zu formulieren.

>   3. Hier weiß ich leider nicht welche Vektoren Vi mit 1
> [mm]\le[/mm] i gemeint sind, da ich ja nur die Vektoren v1,v2,v3
> kenne

Lesen wir nochmal den Aufgabentext:
"3. Bestimme alle 1 $ [mm] \le [/mm] $ i; j $ [mm] \le [/mm] $ 3 so, dass B nach Austauch von [mm] v_i [/mm] durch [mm] e_j [/mm] eine Basis von [mm] \IF_{7}^{3x1} [/mm]
ist."

Du hast die Basis [mm] B:=(v_1, v_2, v_3) [/mm] und sollst nun sagen:

ist
[mm] (e_1, v_2, v_3) \qquad [/mm] (hier:i=1, j=1)
[mm] (e_2, v_2, v_3) \qquad [/mm] (hier:i=1, j=2)
[mm] (e_3, v_2, v_3) \qquad [/mm] (hier:i=1, j=3)
[mm] (v_1, e_1, v_3) \qquad [/mm] (hier:i=2, j=1)
[mm] \vdots [/mm]
eine Basis?

LG Angela


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