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| Aufgabe | | Es seien [mm] $U=\{x\in \IR^4: x_1+2x_3=x_2-2x_4\}$ [/mm] und [mm] $V=\{x\in \IR^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0\}$ [/mm] Geben Sie Basen von $U$ und $U [mm] \cap [/mm] V$ an! |
Ok, ich habe schon Basen von U und V heraus, aber nun Schwierigkeiten beim Durchschnitt. Bei $U [mm] \cap [/mm] V$ müssen ja alle Elemente in U und in V sein, aber wie gehe ich da vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 15.07.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Es seien [mm]U=\{x\in \IR^4: x_1+2x_3=x_2-2x_4\}[/mm] und [mm]V=\{x\in \IR^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0\}[/mm]
> Geben Sie Basen von [mm]U[/mm] und [mm]U \cap V[/mm] an!
> Ok, ich habe schon Basen von U und V heraus, aber nun
> Schwierigkeiten beim Durchschnitt. Bei [mm]U \cap V[/mm] müssen ja
> alle Elemente in U und in V sein, aber wie gehe ich da vor?
Wenn du im [mm] \IR^{3} [/mm] wärst und du 2 solche Gleichungen hättest, dann wären das 2 Ebenen, deren Durchschnitt eine Gerade sein könnte, die du durch Stütz- und Richtungsvektor angeben könntest.
Wenn du das von der Schule her noch drauf hast, dann kannst du hier genauso vorgehen. Ein Stützvektor ist besonders einfach zu finden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hmm, sorry, aber Schule ist schon lange her.
Ich habe mir mittlerweile noch ein paar Gedanken gemacht: Also zunächst liegen nur die Elemente im Durchschnitt, die in U und in V liegen (hatte mich da gerade falsch ausgedrückt). Daher habe ich die beiden Vorschriften einfach mal gleich gesetzt und [mm] $x_2=\frac{1}{2}x_3+\frac{3}{2}x_4$ [/mm] bzw. [mm] $x_1=0$ [/mm] heraus.
Daher ergeben sich für die Basis nur zwei Vektoren: [mm] $x_3\pmat{0\\1/2\\1\\0}+x_4\pmat{0\\3/2\\0\\1}$
[/mm]
Kann das sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Di 15.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf [mm] x_1=0
[/mm]
ich komm auch nicht auf deine andere Gleichung?
Gruss leduart
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Na ja, ich dachte probiers mal, und ich [mm] habe$$x_1-x_2+2x_3-2x_4=x_1+x_2+x_3+x_4$$ [/mm] gesetzt.
Daraus ergibt sich [mm] $-2x_2+x_3-3x_4=0$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Di 15.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Na ja, ich dachte probiers mal, und ich
> habe[mm]x_1-x_2+2x_3-2x_4=x_1+x_2+x_3+x_4[/mm] gesetzt.
nach deinem ersten post müsste das aber
[mm]x_1-x_2+2x_3+2x_4=x_1+x_2+x_3+x_4[/mm]
sein. und [mm] x_1=0 [/mm] folgt auch nicht.
Gruss leduart
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> Hallo
> > Na ja, ich dachte probiers mal, und ich
> > habe[mm]x_1-x_2+2x_3-2x_4=x_1+x_2+x_3+x_4[/mm] gesetzt.
> nach deinem ersten post müsste das aber
> [mm]x_1-x_2+2x_3+2x_4=x_1+x_2+x_3+x_4[/mm]
> sein. und [mm]x_1=0[/mm] folgt auch nicht.
Ups sorry, es muss natürlich so heißen, wie Du meinst. Gut, dann steht da nun [mm] $x_2=\frac{1}{2}(x_3+x_4)$.
[/mm]
Aber was ist denn nun [mm] $x_1$?
[/mm]
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> > Hallo
> > > Na ja, ich dachte probiers mal, und ich
> > > habe[mm]x_1-x_2+2x_3-2x_4=x_1+x_2+x_3+x_4[/mm] gesetzt.
> > nach deinem ersten post müsste das aber
> > [mm]x_1-x_2+2x_3+2x_4=x_1+x_2+x_3+x_4[/mm]
> > sein. und [mm]x_1=0[/mm] folgt auch nicht.
>
> Ups sorry, es muss natürlich so heißen, wie Du meinst. Gut,
> dann steht da nun [mm]x_2=\frac{1}{2}(x_3+x_4)[/mm].
>
> Aber was ist denn nun [mm]x_1[/mm]?
Hallo,
Dein [mm] x_1 [/mm] unterliegt ja überhaupt keinen Einschränkungen. Du kannst es also frei wählen,
so daß alle Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{x_1\\\frac{1}{2}(x_3+x_4)\\x_3\\x_4}= x_1*\vektor{...\\...\\...\\...} [/mm] + ...
das GS lösen. Eine Basis dieses Raumes ist also???
Gruß v. Angela
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> Dein [mm]x_1[/mm] unterliegt ja überhaupt keinen Einschränkungen. Du
> kannst es also frei wählen,
>
> so daß alle Vektoren der Gestalt
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{x_1\\\frac{1}{2}(x_3+x_4)\\x_3\\x_4}= x_1*\vektor{...\\...\\...\\...}[/mm]
> + ...
> das GS lösen. Eine Basis dieses Raumes ist also???
>
[mm] $x_1\pmat{1\\0\\0\\0}+x_3\pmat{0\\1/2\\1\\0}+x_4\pmat{0\\1/2\\0\\1}$?
[/mm]
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Hallo,
ich glaube, wir müssen etwas aufräumen, Dieters Hinweis bzgl des Durcheinanders war ziemlich gut - und ich fürchte, ich war nicht ganz unschuldig....
>>>> $ [mm] U=\{x\in \IR^4: x_1+2x_3=x_2-2x_4\} [/mm] $ und $ [mm] V=\{x\in \IR^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0\} [/mm] $ Geben Sie Basen von U und $ U [mm] \cap [/mm] V $ an!
1. Um eine Basis von U anzugeben, ist der Lösungsraum von [mm] x_1+2x_3=x_2-2x_4 [/mm] <==> [mm] x_1-x_2+2x_3+2x_4=0 [/mm] zu bestimmen.
Der Lösungsraum hat die Dimension 3 (falls Ihr Koeffizientenmatrix &Co. besprochen habt: der Rang =1), Du kannst drei Komponenten frei wählen, darau ergibt sich die vierte.
Mach mal - falls Du's noch nicht getan hast.
2. Im Schnitt der beiden Räume liegen die Vektoren, die gleichzeitig beide Gleichungen erfüllen.
Der Schnitt ist also der Lösungsraum des homogenen LGSs
[mm] x_1-x_2+2x_3+2x_4=0
[/mm]
[mm] x_1+x_2+x_3+x_4=0
[/mm]
<==>
[mm] x_1-x_2+2x_3+2x_4=0
[/mm]
[mm] -2x_2+x_3+x_4=0
[/mm]
Rang des GSs bzw. der Koeffizientenmatrix=2, also haben wir einen Lösungsraum der Dimension 4-2=2.
2 Variablen, etwas [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4, [/mm] sind frei wählbar, die dritte und vierte ergeben sich daraus.
Gruß v. Angela
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Gut, also besteht die Basis von $U [mm] \cap [/mm] V$ nur aus zwei Vektoren. Dann war ich glaube ich doch auf dem richtigen Weg...
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> Gut, also besteht die Basis von [mm]U \cap V[/mm] nur aus zwei
> Vektoren.
Ja.
Es ist aber [mm] x_1\not=0, [/mm] das schwirrte irgendwie im Raum herum.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Di 15.07.2008 | | Autor: | statler |
Es geht glaubich durcheinander.
> Aber was ist denn nun [mm]x_1[/mm]?
x1 = [mm] -\bruch{3}{2}(x3 [/mm] + x4)
Das ergibt sich durch Addition der Gln. Der LR müßte 2dim. sein.
Gruß
Dieter
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ok, damit ich einen Tag vor der Klausur nicht noch völlig durcheinander komme, kann mir jemand sagen, wie ich bei $U [mm] \cap [/mm] V$ vorgehe?
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