Baryzentrische Koordinaten < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Do 30.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Seien P,Q,R die Eckpunkte eines Dreiecks und sei S ein beliebiger Punkt in der Ebene. Beweisen Sie, dass es immer relle Zahlen [mm] \lambda, \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] gibt mit [mm] S=\lambda [/mm] P + [mm] \mu Q+\nu [/mm] R und [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] + [mm] \nu [/mm] =1. Das Tripel [mm] (\lambda,\mu,\nu) [/mm] nennt man die baryzentischen Koordinaten von S bezüglich des Dreiecks [mm] D_{PQR}. [/mm] |
Hallo zusammen,
Sei [mm] S=(s_1,s_2) \in \IR^2 [/mm] beliebig aber fix,
Dann beschreibt [mm] S=\lambda [/mm] P + [mm] \mu Q+\nu [/mm] R das Gleichungssystem:
[mm] A*\vektor{\lambda \\ \mu \\ \nu}= \vektor{s_1 \\ s_2 \\ 1}
[/mm]
wobei [mm] A=\pmat{ p_1 & q_1 & r_1 \\ p_2 & q_2 & r_2 \\ 1 & 1& 1 }
[/mm]
Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar wenn A invertierbar ist.
A ist invertierbar wenn [mm] det(A)\not=0
[/mm]
[mm] |A|=p_1 q_2 [/mm] + [mm] q_1 r_2 +r_1p_2-q_2r_1-r_2p_1-p_2q_1=q_1(r_2-p_2)+q_2(p_1-r_1)+r_1p_2-r_2p_1
[/mm]
Ang. [mm] |A|=q_1(r_2-p_2)+q_2(p_1-r_1)+r_1p_2-r_2p_1=0
[/mm]
Wie komme ich zu einen widerspruch?
Da P,Q,R Eckpunkte eines Dreiecks sind, weiß ich, dass sie verschieden in [mm] \IR^2 [/mm] sind und dass die Vektoren [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] und [mm] \overrightarrow{PR} [/mm] nicht kollinear sind.
Liebe Grüße,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Fr 31.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> Seien P,Q,R die Eckpunkte eines Dreiecks und sei S ein
> beliebiger Punkt in der Ebene. Beweisen Sie, dass es immer
> relle Zahlen [mm]\lambda, \mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] gibt mit [mm]S=\lambda[/mm] P +
> [mm]\mu Q+\nu[/mm] R und [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] + [mm]\nu[/mm] =1. Das Tripel
> [mm](\lambda,\mu,\nu)[/mm] nennt man die baryzentischen Koordinaten
> von S bezüglich des Dreiecks [mm]D_{PQR}.[/mm]
> Hallo zusammen,
> Sei [mm]S=(s_1,s_2) \in \IR^2[/mm] beliebig aber fix,
> Dann beschreibt [mm]S=\lambda[/mm] P + [mm]\mu Q+\nu[/mm] R das
> Gleichungssystem:
> [mm]A*\vektor{\lambda \\ \mu \\ \nu}= \vektor{s_1 \\ s_2 \\ 1}[/mm]
>
> wobei [mm]A=\pmat{ p_1 & q_1 & r_1 \\ p_2 & q_2 & r_2 \\ 1 & 1& 1 }[/mm]
>
> Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar wenn
> A invertierbar ist.
> A ist invertierbar wenn [mm]det(A)\not=0[/mm]
> [mm]|A|=p_1 q_2[/mm] + [mm]q_1 r_2 +r_1p_2-q_2r_1-r_2p_1-p_2q_1=q_1(r_2-p_2)+q_2(p_1-r_1)+r_1p_2-r_2p_1[/mm]
>
> Ang. [mm]|A|=q_1(r_2-p_2)+q_2(p_1-r_1)+r_1p_2-r_2p_1=0[/mm]
>
> Wie komme ich zu einen widerspruch?
> Da P,Q,R Eckpunkte eines Dreiecks sind, weiß ich, dass
> sie verschieden in [mm]\IR^2[/mm] sind und dass die Vektoren
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] und [mm]\overrightarrow{PR}[/mm] nicht kollinear
> sind.
Klar ist doch, dass die ersten beiden Spalten l.u. sind, da P und Q verschiedene Punkte sind. Außerdem sind sie verschieden vom Nullvektor.
Wenn die Determinante der Matrix also Null sein soll, dann ist die dritte Spalte eine Linearkombination der ersten beiden.
Ich bezeichne die Spalten mit [mm] $s_1,s_2,s_3$.
[/mm]
Wir nehmen also an:
[mm] $s_3=a*s_1+b*s_2$
[/mm]
Wegen der letzen Zeile gilt $a+b=1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] b=1-a$
Was bedeutet das? Eben genau:
[mm] $\vektor{r_1 \\ r_2}=a*\vektor{p_1 \\ p_2}+(1-a)*\vektor{q_1 \\ q_2}$
[/mm]
Was aber besagt das?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:00 Sa 01.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo MacMath,
Ich verstehe deine Annahme noch nicht ganz.
> Klar ist doch, dass die ersten beiden Spalten l.u. sind, da
> P und Q verschiedene Punkte sind.Außerdem sind sie
> verschieden vom Nullvektor.
Warum darf P kein Vielfaches von Q sein? P und Q dürfen ja nur nicht der selbe Punkt sein. Und warum weißt, du dass nicht ein Punkt der Nullvektor ist?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 03.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Mo 03.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> Warum darf P kein Vielfaches von Q sein? P und Q dürfen
> ja nur nicht der selbe Punkt sein. Und warum weißt, du
> dass nicht ein Punkt der Nullvektor ist?
Natürlich kann P ein vielfaches von Q sein, oder einer der beiden der Nullvektor.
Allerdings steht in der ersten/zweiten Spalte ganz unten auch eine 1. Dadurch sind beide Spalten ungleich 0, und linear Abhängig genau für $P=Q$
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 04.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo MacMath,
Ah jetzt hat´s geratert ;P
Um das noch zu Ende zu argumentieren:
$ [mm] \vektor{r_1 \\ r_2}=a\cdot{}\vektor{p_1 \\ p_2}+(1-a)\cdot{}\vektor{q_1 \\ q_2} [/mm] $
[mm] \gdw \vektor{r_1-q_1\\r_2-q_2}=a\vektor{p_1-q_1\\p_2-q_2}
[/mm]
-> [mm] \overrightarrow{QR} [/mm] kollineare zu [mm] \overrightarrow{QP}
[/mm]
Widerspruch zur Definition des Dreiecks
-> Spalten linear unabhängig
-> Matrix A invertierbar
-> Lösung [mm] \vektor{\lambda \\ \mu \\ \nu}=A^{-1} \vektor{s_1 \\ s_2 \\ 1} [/mm]
Korrekt?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Di 04.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> Hallo MacMath,
> Ah jetzt hat´s geratert ;P
Gut ;)
> Um das noch zu Ende zu argumentieren:
>
> [mm]\vektor{r_1 \\ r_2}=a\cdot{}\vektor{p_1 \\ p_2}+(1-a)\cdot{}\vektor{q_1 \\ q_2}[/mm]
>
> [mm]\gdw \vektor{r_1-q_1\\r_2-q_2}=a\vektor{p_1-q_1\\p_2-q_2}[/mm]
>
> -> [mm]\overrightarrow{QR}[/mm] kollineare zu [mm]\overrightarrow{QP}[/mm]
> Widerspruch zur Definition des Dreiecks
> -> Spalten linear unabhängig
> -> Matrix A invertierbar
Passt!
> -> Lösung [mm]\vektor{\lambda \\ \mu \\ \nu}=A^{-1} \vektor{s_1 \\ s_2 \\ 1}[/mm]
>
> Korrekt?
Was sind bei dir [mm] $s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$? [/mm] Bei mir waren das Spalten, also Elemente aus [mm] $\IR^3$. [/mm]
Genau, ich sehe gerade erst, dass ich meine Spalten nicht so hätte nennen dürfen ;) Alles prima!
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