Bandstruktur bei Festkörpern < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Bloch |
Liebe Freunde der Festkörperphysik,
ich beschäftige mich gerade mit der Bandstruktur von Festkörpern.
Ich beziehe mich bei meiner Frage auf dieses Skript:
http://www.wmi.badw.de/teaching/Lecturenotes/FKP/FKP_Kapitel8.pdf
(Ich besuche zwar nicht diese Vorlesung. Aber mir gefällt das Skript.)
Okay nun zu meiner Frage:
Löst man die Schrödingergleichung für ein Elektron im periodische Potential, so erhällt man N Lösungen. Wobei N der Anzahl der Elementarzellen entspricht. Nennen wir die Lösungen [mm] \psi_{k} [/mm] .
(Wobei wir annehmen, dass es N "Wellenvektoren" k gibt)
Nun wird eine zweite Quantenzahl n, der Bandindex eingeführt und
die Bedeutung dieser Quantenzahl ist mir nicht ganz klar.
Auf der einen Seite wird gesagt, dass ma zu einer Lösung der
Schrödinger-Gleichung [mm] \psi_{k} [/mm] mehrere Eigenwerte
[mm] E_{n}(k):=E(k+G_{n}) [/mm] findet (auf Grund der Beschränkung auf die erste Brillouin-Zone) - [mm] G_{n} [/mm] notiere einen reziproken Gittervektor -
auf der deren Seite leitet man dann aber auch E(k+G)=E(k) her.
(Also müssten diese vermeintlich verschiedenen Eigenwerte doch alle Gleich sein, sprich: [mm] E_{i}(k) [/mm] = [mm] E_{j}(k) [/mm] für alle i,j )
Kann mir das jemand erklären.
In meinem Kopf herrscht diesbezüglich momentan eine ziemliche Unordnung ^^.
Viele Dank schon mal und beste Grüße!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Fr 07.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habs gelesen und übrigends das gleiche gehabt, aber in Matrixdarstellung. Es ist eigentlich trivial. Du meinst nur, dieser Bandindex sei eine neue "Quantenzahl". Einerseits gibt es für k verschiedene Werte andrerseits den Bandindex n? Index k und n?
G ist ein Reziproker Gittervektor. G sagt also wenn wir zum nächsten Atom wechseln bzw. wann sich alles wieder wiederholt. Es gibt N-Eigenwerte [mm] E_{k} [/mm] mit k = 1,...,N und N Lösungen der Schrödinger Gleichung. [mm] E_{k+G} [/mm] = [mm] E_{k} [/mm] - ab G fangen sich die Eigenwerte an zu wiederholen.
Die k sagen wieviel Energie die Eigenwerte jeweils haben! Die k gehen von [mm] -\bruch{\pi}{a} [/mm] bis [mm] +\bruch{\pi}{a} [/mm] weil sich sonst das ganze wiederholt. D.h. es gilt E = E(k) - die Dispersionsrelation. Diese Dispersionsrelation sagt zum Beispiel bei einem Molekühl voraus mit wie vielen Elektronen es (wahrscheinlich) befüllt sein wird: Mit der Menge wo das niedrigste Energieniveau ist. Die k bestimmen sich aus dieser Born von Karman Randbedingung.
Jetzt gibt es aber noch verschiedene Bänder, die je eine eigene Dispersionsrelation haben. Die verschiedenen Bänder kanst du dir wie je verschieden Angeregte Zustände der Elektronen vorstellen. In Festkörpern gibt es dan eben z.B. Valenzband oder Leitungsband. Ich habe das so verstanden, dass diese(!) Quantelung aus der Schrödingergleichung kommt.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Bloch |
Okay.
Ich habe mittlerweile auch etwas darüber nachgedacht und das was du sagst ist schon richtig.
Allerdings denke ich, dass die Formel [mm] E_{n}(k):=E(k+G_{n}) [/mm]
nicht ganz stimmt, sondern das man keine konkrete Form für die entwarteten Energiewerte angeben kann.
Weiterhin habe ich im Ashcroft eine Erklärung für die Bedeutung der Quantenzahl n gefunden, die im Prinzip so geht:
Man nimmt an die Lösungen haben die Form [mm] \psi_{k}(r) [/mm] = [mm] e^{i*k*r} \cdot u_k{r}. [/mm] Wobei die [mm] u_{k} [/mm] gitterperiodische Funktionen sind.
Setzt man dies nun in die Schrödingergleichung ein ergibt sich:
H [mm] \psi_{k}(r) [/mm] = [mm] E_{k} \psi_{k}(r) [/mm] .
Wendet man H nun ausschließlich auf den [mm] e^{i*k*r} [/mm] - Teil der Wellenfunktion an, ergibt sich
[mm] H_{k} u_{k}(r) [/mm] = [mm] E_{k} u_{k}(r) [/mm] mit einem neuen Hamiltonoperator,
der auch von k abhängt.
Diese Gleichung hat nun für ein fixes k ein diskretes Spektrum an Energien
[mm] E_{nk}. [/mm] Hm..irgendwie ist das aber dann auch komisch weil doch nicht eine Eigenfunktion mehrere Eigenwerte haben kann.
Außerdem soll doch diese Entartung irgendwie aus der Reduktion auf die erste Brillouin-Zone folgen.
Es herrscht immer noch etwas Wirrwar in meinem Kopf ^^
Ich bedanke mich aber schonmal für die kommenden Antworten.
Viele Grüße!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Sa 08.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Ja, mir ist auch nicht bekannt, dass es mehrere Eigenwerte zu einer Eigenfunktion gibt (vielleicht doch bei irgend was mathematisch-exotischen).
Ja es gibt [mm] E_{nk} [/mm] nach meinem Verständnis.
Trotzdem müssen sich die Beiden nicht ausschliessen, denn es gibt einfach auch [mm] \phi_{nk}(x).
[/mm]
Schau, du kannst das ganze auch so angehen (was jedoch nicht genau analog dem entspricht was in deinem Skript steht und achtung, ich meine hier ein anderes n):
1.) [mm] H*\phi(x) [/mm] = [mm] E*\phi(x) [/mm] - wobei [mm] \phi(x) [/mm] die gesuchte, entgültige Funktion für den Festokörper ist und somit der Hamiltonoperator der dafür spezifische ist.
2.)Jetzt macht man den Ansatz [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}c_{i}*\phi_{i}(x). [/mm] Die [mm] \phi_{i}(x) [/mm] bilden eine orthonormale Basis1 die man aus anderen Lösungen kennt und selbst gewählt(!) hat.
Wir schreiben 1.) um mit 2.) in
[mm] \summe_{i=1}^{n} H*c_{i}*\phi_{i}(x) [/mm] = [mm] E*\summe_{i=1}^{n}c_{i}*\phi_{i}(x) [/mm] (mit dem Wissen dass H ein linearer Operator ist).
Wir multiplizieren die Gleichung mit [mm] \phi_{j}(x) [/mm] im Sinne das wir das Skalarprodukt bilden wobei j [mm] \in [/mm] [1,...,n]
Es folgt [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}*\phi_{j}(x)*H*\phi_{i}(x) [/mm] = [mm] E*c_{j}
[/mm]
Macht man das für alle j, so erhält man ein Gleichungssystem mit n Gleichungen. Dies kann man Lösen und erhält als Lösung die Dispersionsrelation [mm] E_{Basis1}(k).
[/mm]
Jetzt kann man aber eine andere orthonormale Basis2, die dann die Basis eines anderen Bandes wird, wählen und das selbe machen. Man erhält eine neue Dispersionsrelation [mm] E_{Basis2}(k). [/mm]
Basis1 wählt man zum Beispiel alle Wellenfunktionen des s Niveau, für Basis2 alle des p Niveau.
Verstanden?
Wie man das nun auf dein Skript über tragen kann seh ich auch nicht gerade, aber so kann man es begreifen.
Gruss
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:12 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Bloch |
Okay..Ich würde meine Frage nicht als beantwortet ansehen. ^^
Vielleicht gibt es ja noch einen anderen Physiker der mir hier helfen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Mo 10.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Moin!
Ich vermute zwar, die Antwort kommt eher zu spät, aber ich kommentiere das ganze trotzdem nochmal.
Nehmen wir der Einfachheit halber ein freies Elektron in einem unendlich ausgedehnten 1-dim Kristall mit der Gitterkonstante a.
Das reziproke Gitter ist ebenfalls ein 1-dim Gitter mit der Gitterkonstante b = [mm] \bruch{2 \pi}{a}, [/mm] und den reziproken Gittervektoren [mm] \vec{G} [/mm] = [mm] $n\cdot{} [/mm] b$ = [mm] m*\bruch{2 \pi}{a}, [/mm] m [mm] \in \IZ.
[/mm]
Die Dispersionsrelation für ein freies Elektron lautet bekanntermaßen
E(k) = [mm] c*k^{2}
[/mm]
wobei c eine von der Masse abhängige Konstante ist.
Es ergibt sich also eine Parabel, welche sich über die Grenzen der Brillouin-Zonen (BZ) hinfortsetzt. In der ersten Abbildung ist das schematisch für die ersten 3 BZ dargestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgrunf der Gitterperiodizität kann man die Darstellung allerdings auf die 1. BZ reduzieren (reduziertes Zonenschema). Es ist dabei üblich, die 1. BZ als Intervall [mm] -\bruch{\pi}{a} \le [/mm] k [mm] \le \bruch{\pi}{a} [/mm] zu wählen. Aufgrund der Symmetrie (E(k)=E(-k)) können wir uns in diesem Fall sogar noch auf die positiven k-Werte der 1. BZ beschränken (begrenzt durch die gestrichelten Linien). Natürlich müssen wir dazu die Zweige der Dispersionskurve in diesen Teil des reziproken Raums verschieben. Um physikalisch nichts zu ändern sind aber nur Verschiebungen um [mm] \vec{G} [/mm] erlaubt. Jede Verschiebung um einen Vektor [mm] \vec{G} [/mm] wird einen Zweig aus der entsprechenden BZ in unsere reduzierte Zone verschieben. In der Abbildung sind das z.B. die Vektoren [mm] \vec{G_{1}} [/mm] = [mm] 1*\bruch{2 \pi}{a} [/mm] und [mm] \vec{G_{2}} [/mm] = [mm] -1*\bruch{2 \pi}{a}. [/mm] Man könnte das konsequent mit [mm] \vec{G_{3}} [/mm] = [mm] 2*\bruch{2 \pi}{a}, \vec{G_{4}} [/mm] = [mm] -2*\bruch{2 \pi}{a}... [/mm] fortführen. Zu beachten ist, das der Index am G nur ein Namensindex ist und keinen direkten Bezug zur tatsächlichen Verschiebung hat.
Das Ergebnis dieser Verschibungen ist in der zweiten Abbildung zu sehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man sieht, dass es für einen k-Wert unendlich viele E-Werte gibt. Diese sitzen jedoch in unterschiedlichen Zweigen der Dispersionsrelation, welche man allgemein als Bänder bezeichnet. Zu beachten ist hierbei noch, dass die Energie-Entartung der Bänder im Zentrum und am Rand der BZ durch "Einschalten" eines Potentials aufgehoben wird wodurch verbotene Bereiche (Bandlücken) entstehen.
Ich hoffe, diese anschauliche Darstellung hat geholfen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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