Bananachsche Fixpunktsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Moin,
ich sitze hier an einer Aufgabe und weiß nicht, wie ich da rangehen soll. Vielleicht kann mir jemand einen Tip geben...
Es seien A [mm] \in M_{n}( \IR). [/mm] Finden Sie mit Hilfe des Bananachschen Fixpunktsatzes ein [mm] \delta [/mm] >0 , so dass das lineare Gleichungssytem
(E- [mm] \lambda [/mm] A) * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] (E ist die Einheitsmatrix)
für | [mm] \lambda [/mm] | < [mm] \delta [/mm] stets genau eine Lösung [mm] \vec{x} [/mm] hat.
Bin für jeden Tip dankbar.
Grüße aus Hamburg
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Hallo!
Probier's doch mal mit folgender Umformung:
[mm] $(E-\lambda [/mm] A)x=b\ [mm] \Leftrightarrow\ \lambda [/mm] Ax+b=x$.
Definiere die Funktion $f:\ [mm] \IR^n\to\IR^n,\ x\mapsto \lambda [/mm] Ax+b$...
Jetzt eine Idee? 
Gruß, banachella
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Hallo banachella,
danke für die schnelle Antwort.
Ich habe jetzt eine Funktion f auf die ich den Fixpunktsatz anwenden kann:
f(x)=x <=> $ [mm] \lambda [/mm] Ax+b=x $ , so wie du es gemacht hast. Leider weiß ich immer noch nicht, wie ich jetzt das [mm] \delta [/mm] bestimmen soll...
Vielleicht kannst du deinen Tip etwas ausführen?
Vielen Dank und viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 07:50 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Quasi,
ich würde es etwas anders machen:
Ein Operator T kontrahiert (=> hat einen Fixpunkt), wenn
[mm]||T(x) - T(y)|| < k||x-y||[/mm] gilt für alle x,y und festem k < 1.
da T = E - [mm] \lambda [/mm] A linear ist, genügt die Bedingung
[mm]||(E-\lambda A)z|| \le ||E-\lambda A||*||z|| < k ||z||[/mm]
also
[mm]||E-\lambda A|| < 1[/mm].
Jetzt hängt es davon ab, was Du für eine Norm für Matrizen definiert hast.
Gruß, Richard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:42 Do 17.11.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Quasi,
ich hatte die Aufgabenstellung zu flüchtig gelesen, sorry!
Nicht T = E - [mm] \lambda [/mm] A soll kontrahieren, sondern T(x) = [mm] \lambda [/mm] Ax + b, genau wie Banachella geschrieben hat...
Dann hast Du für die Lipschitz-Konstante
[mm]||T(x) - T(y)|| = ||\lambda A(x-y)|| \le |\lambda|* ||A||* ||x-y||[/mm]
und dann ist hoffentlich alles klar,
Gruß, Richard
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Hallo Quasi,
heute morgen auf dem Weg zur Arbeit kam mir die Frage, ob das überhaupt geht:
Unabhängig von der Norm kriegts Du das Problem, dass
|1 - [mm] \lambda a_{i,i} [/mm] < 1
sein muss für alle Diagonalelemente und [mm] |\lambda [/mm] | < [mm] \delta.
[/mm]
Das dürfte nicht klappen...
Gruß, Richard
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