Banach-Räume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bezeichne [mm] x=(n_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Zahlenfolge. Die Folgenräume [mm] l_{\infty} [/mm] und [mm] l_2 [/mm] sind wie folgt definiert:
[mm] l_{\infty} [/mm] := {x | [mm] ||x||_{\infty} [/mm] := [mm] sup_{n\in \IN} |x_n| [/mm] < [mm] \infty},
[/mm]
[mm] l_2 [/mm] := {x | [mm] ||x||_2 [/mm] := [mm] (\summe_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 )^{1/2} [/mm] < [mm] \infty}.
[/mm]
Man zeige, dass [mm] (l_{\infty}, ||\cdot||_{\infty}) [/mm] und [mm] (l_2 [/mm] , [mm] ||\cdot||_2 [/mm] ) BANACH-Räume sind. |
Hallihallo!
Ich weiß ja mal so gar nicht, was ich eigentlich tun soll... Außerdem hab ich auch gar nicht verstanden, was eigentlich ein Banachraum ausmacht... Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte, mich in die Aufgabe zu finden...
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Lg Kiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
also ich kann Dir raten, das ganze mal im Buch "Funktionalanalysis" vom Springer-Verlag (von Dirk Werner) anzusehen. Dort ist es recht gut erklärt.
Dort wird einmal gezeigt, dass [mm] $l^{\infty}$ [/mm] ein Banachraum bzgl der Supremumsnorm ist und dass [mm] $l^{p}$ (1
Ein Banachraum ist ein vollständiger metrischer Raum, was heißst, dass jede Cauchy-Folge mit Werten aus diesem metrischen Raum gegen eine Folge aus diesem Raum konvergiert und das ganze bzgl der Supremumsnorm. Um das zu zeigen, musst du dir also eine Folge von Cauchy-Folgen hernehmen und zeigen, dass diese konvergiert und in [mm] $l^{\infty}$ [/mm] bzw. [mm] $l^{2}$ [/mm] enthaten ist.
Sieh es dir am besten mal im Buch an, denn es ist etwas länger.
Ciao Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Fire21 |
Hallo
einige Korrekturen: denny hat in seiner Antwort die allgemeine Def und das Bsp der Folgenräume etwas vermischt.
Also zunächst mal: ein Banchraum ist definitionsgemäß ein vollständiger, normierter Vektorraum.
Sei [mm] (X,\parallel\cdot\parallel) [/mm] ein normierter Vektorraum.
X ist vollständig genau dann, wenn jede Cauchyfolge von Elementen von X gegen ein Element von X konvergiert - bzgl der Norm von X [mm] \parallel\cdot\parallel
[/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:19 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Denny22 |
Ja danke.
Fire hat natürlich Recht. Habe mich diesbezüglich vertan.
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