Bahnen und Normalteiler < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei $G$ eine Menge, die auf einer Menge $X$ operiert und es sei $N$ ein Normalteiler von $G$. Man zeige folgende Aussagen
a) Jede Bahn von $G$ in $X$ zerfällt unter der Operation von $N$ in (im allgemeinen mehrere) Bahnen gleicher Mächtigkeit
b) Wie zerfallen die Konjugiertenklassen in [mm] $S_5$ [/mm] der Elemente von [mm] $Alt_5$ [/mm] (es gibt 3 davon) in Konjugiertenklassen von [mm] $Alt_5$? [/mm] |
Hallo Zusammen,
also die Aufgabe (zunächst mal nur die a) ) überfordert mich, allein schon von der Formulierung her ein wenig. Also $X$ zerfällt unter $G$ in Bahnen, das ist ok. Aber dann soll jede solche Bahn wiederum in Bahnen zerfallen durch die Operation des Normalteilers? und diese Bahnen sind jeweils gleichmächtig....Ist das wohl damit gemeint? Also da fehlt mir ehrlich gesagt ganz einfach der Ansatz.
Dass ein $N$ auf einer Bahn operiert kann ich noch akzeptieren, immerhin ist eine Bahn [mm] $G.x=\{g.x|g\in G\}$ [/mm] eine Teilmenge von $X$ und $N$ operiert auf dieser Teilmenge. meinetwegen. Dann zerfällt jede Bahn wiederum in Bahnen unter der Operation von $N$ auf $G.x$. Sieht das dann so aus: $N.(G.x)$ und dann? Geh ich da in die falsche Richtung? Warum sollten die Bahnen alle gleichmächtig sein? Was mir noch einfällt ist, dass ja $N.(G.x)=(NG).x$ gilt und dann die Normalteilereigenschaften ausnutzen??
Viele Dank schon mal im Voraus, ich bin echt am Verzweifeln grad :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Sa 12.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm]G[/mm] eine Menge, die auf einer Menge [mm]X[/mm] operiert und es
> sei [mm]N[/mm] ein Normalteiler von [mm]G[/mm]. Man zeige folgende Aussagen
>
> a) Jede Bahn von [mm]G[/mm] in [mm]X[/mm] zerfällt unter der Operation von [mm]N[/mm]
> in (im allgemeinen mehrere) Bahnen gleicher Mächtigkeit
>
> also die Aufgabe (zunächst mal nur die a) ) überfordert
> mich, allein schon von der Formulierung her ein wenig. Also
> [mm]X[/mm] zerfällt unter [mm]G[/mm] in Bahnen, das ist ok. Aber dann soll
> jede solche Bahn wiederum in Bahnen zerfallen durch die
> Operation des Normalteilers? und diese Bahnen sind jeweils
> gleichmächtig....Ist das wohl damit gemeint?
Ja.
> Also da fehlt mir ehrlich gesagt ganz einfach der Ansatz.
>
> Dass ein [mm]N[/mm] auf einer Bahn operiert kann ich noch
> akzeptieren, immerhin ist eine Bahn [mm]G.x=\{g.x|g\in G\}[/mm] eine
> Teilmenge von [mm]X[/mm] und [mm]N[/mm] operiert auf dieser Teilmenge.
> meinetwegen. Dann zerfällt jede Bahn wiederum in Bahnen
> unter der Operation von [mm]N[/mm] auf [mm]G.x[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sieht das dann so aus: [mm]N.(G.x)[/mm] und dann?
Nein. Zu einem $g [mm] \in [/mm] G$ kannst du das Element $y = g x [mm] \in [/mm] G.x$ betrachten; dann ist $N y = N g x$ so eine Bahn.
Sei $U = [mm] Stab_G(x)$ [/mm] der Stabilisator von der Operation von $G$ auf $x$. Wie kannst du jetzt [mm] $Stab_G(y)$ [/mm] dadurch ausdruecken? Und wie kannst du [mm] $Stab_N(x)$ [/mm] und [mm] $Stab_N(y)$ [/mm] dadurch ausdruecken?
Jetzt brauchst du noch, dass es eine Bijektion zwischen den Linksnebenklassen von [mm] $Stab_N(x)$ [/mm] in $N$ und der Bahn $N x$ gibt, und das gleiche fuer [mm] $Stab_N(y)$ [/mm] und $N y$.
LG Felix
|
|
|
|
