B(M,IR) separabel <=> M endl. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Der Raum der beschränkten Funktionen [mm] $B(M,\IR) [/mm] = [mm] \{f:M\to\IR\;|\; \textnormal{f beschränkt auf}\:M\}$, [/mm] versehen mit der Supremumsnorm, ist genau dann separabel, wenn [mm] $M\;$ [/mm] endlich ist. |
Hallo,
ich würde gerne wissen, ob meine Lösung korrekt ist.
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Angenommen [mm] $M\;$ [/mm] ist nicht endlich.
Sei $f [mm] \in B(M,\IR)$, [/mm] dann kann man [mm] $f\;$ [/mm] auffassen als Tupel [mm] $(x_i)_{i \in M}, x_i \in \IR$, [/mm] mithilfe der natürlichen, isometrischen Bijektion [mm] $(B(M,\IR),||\cdot||_{\infty}) \to (\{x \in \produkt_{i \in M} \IR\;|\; ||x||_{\infty} < \infty\}, ||\cdot||_{\infty})$
[/mm]
Sei nun [mm] $(x^{(n)})$ [/mm] eine Folge in [mm] $B(M,\IR)$ [/mm] mit [mm] \overline{\{(x^{(n)}\;|\;n \in \IN\}} [/mm] = [mm] B(M,\IR)$.
[/mm]
Wir fassen [mm] $(x^{(n)}_i)$ [/mm] auf als Tupel in [mm] $\produkt_{i \in M} \IR$.
[/mm]
Nun betrachten wir [mm] $y=(y_i)$ [/mm] definiert durch:
[mm] $y_i=\begin{cases}x^{(i)}_i+1 &\; \text{falls} |x^{(i)}_i| \leq 1 \\ 0 &\; \text{sonst} \end{cases}$
[/mm]
Es ist dann [mm] $y_i [/mm] < 2$ für alle $i [mm] \in [/mm] M$ und somit [mm] $||y||_{\infty}<2$, [/mm] also $y [mm] \in B(M,\IR)$, [/mm] aber [mm] $||y-x^{(n)}||_{\infty} \geq |y_n-x^{(n)}_n| \geq [/mm] 1$ für alle $n [mm] \in [/mm] M$. Dies steht im Widerspruch zur Dichtheit von [mm] $(x^{(n)})$ [/mm] in [mm] $B(M,\IR)$. [/mm] M muss also endlich sein.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Ist M endlich, so ist [mm] $B(M,\IR)$ [/mm] isometrisch isomorph zu [mm] $\IR^n$ [/mm] mit $n = [mm] |M|\;$. [/mm] Es ist [mm] $\IQ^n$ [/mm] abzählbar und dicht in [mm] $\IR^n$, [/mm] also ist [mm] $B(M,\IR)$ [/mm] separabel.
Passt das so?
Vielen Dank für eure Hilfe, viele Grüße,
Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mo 07.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Der Raum der beschränkten Funktionen [mm]B(M,\IR) = \{f:M\to\IR\;|\; \textnormal{f beschränkt auf}\:M\}[/mm],
> versehen mit der Supremumsnorm, ist genau dann separabel,
> wenn [mm]M\;[/mm] endlich ist.
> Hallo,
>
> ich würde gerne wissen, ob meine Lösung korrekt ist.
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
> Angenommen [mm]M\;[/mm] ist nicht endlich.
> Sei [mm]f \in B(M,\IR)[/mm], dann kann man [mm]f\;[/mm] auffassen als Tupel
> [mm](x_i)_{i \in M}, x_i \in \IR[/mm], mithilfe der natürlichen,
> isometrischen Bijektion [mm](B(M,\IR),||\cdot||_{\infty}) \to (\{x \in \produkt_{i \in M} \IR\;|\; ||x||_{\infty} < \infty\}, ||\cdot||_{\infty})[/mm]
>
> Sei nun [mm]$(x^{(n)})$[/mm] eine Folge in [mm]$B(M,\IR)$[/mm] mit
> [mm]\overline{\{(x^{(n)}\;|\;n \in \IN\}}[/mm] = [mm]B(M,\IR)$.[/mm]
> Wir fassen [mm](x^{(n)}_i)[/mm] auf als Tupel in [mm]\produkt_{i \in M} \IR[/mm].
>
> Nun betrachten wir [mm]y=(y_i)[/mm] definiert durch:
> [mm]y_i=\begin{cases}x^{(i)}_i+1 &\; \text{falls} |x^{(i)}_i| \leq 1 \\ 0 &\; \text{sonst} \end{cases}[/mm]
Das gefällt mir ganz und gar nicht ! Was soll denn [mm] x^{(i)}_i [/mm] sein ?
Das obere i in (i) stammt aus [mm] \IN [/mm] und das untere i aus M ?!?
Das passt nicht !
Gruß FRED
>
> Es ist dann [mm]y_i < 2[/mm] für alle [mm]i \in M[/mm] und somit
> [mm]||y||_{\infty}<2[/mm], also [mm]y \in B(M,\IR)[/mm], aber
> [mm]||y-x^{(n)}||_{\infty} \geq |y_n-x^{(n)}_n| \geq 1[/mm] für
> alle [mm]n \in M[/mm]. Dies steht im Widerspruch zur Dichtheit von
> [mm](x^{(n)})[/mm] in [mm]B(M,\IR)[/mm]. M muss also endlich sein.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
> Ist M endlich, so ist [mm]B(M,\IR)[/mm] isometrisch isomorph zu
> [mm]\IR^n[/mm] mit [mm]n = |M|\;[/mm]. Es ist [mm]\IQ^n[/mm] abzählbar und dicht in
> [mm]\IR^n[/mm], also ist [mm]B(M,\IR)[/mm] separabel.
>
> Passt das so?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe, viele Grüße,
> Lippel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:29 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, vielen Dank für die Antwort.
> > Der Raum der beschränkten Funktionen [mm]B(M,\IR) = \{f:M\to\IR\;|\; \textnormal{f beschränkt auf}\:M\}[/mm],
> > versehen mit der Supremumsnorm, ist genau dann separabel,
> > wenn [mm]M\;[/mm] endlich ist.
> > Hallo,
> >
> > ich würde gerne wissen, ob meine Lösung korrekt ist.
> >
> > "[mm]\Rightarrow[/mm]"
> > Angenommen [mm]M\;[/mm] ist nicht endlich.
> > Sei [mm]f \in B(M,\IR)[/mm], dann kann man [mm]f\;[/mm] auffassen als
> Tupel
> > [mm](x_i)_{i \in M}, x_i \in \IR[/mm], mithilfe der natürlichen,
> > isometrischen Bijektion [mm](B(M,\IR),||\cdot||_{\infty}) \to (\{x \in \produkt_{i \in M} \IR\;|\; ||x||_{\infty} < \infty\}, ||\cdot||_{\infty})[/mm]
>
> >
> > Sei nun [mm]$(x^{(n)})$[/mm] eine Folge in [mm]$B(M,\IR)$[/mm] mit
> > [mm]\overline{\{(x^{(n)}\;|\;n \in \IN\}}[/mm] = [mm]B(M,\IR)$.[/mm]
> > Wir fassen [mm](x^{(n)}_i)[/mm] auf als Tupel in [mm]\produkt_{i \in M} \IR[/mm].
>
> >
> > Nun betrachten wir [mm]y=(y_i)[/mm] definiert durch:
> > [mm]y_i=\begin{cases}x^{(i)}_i+1 &\; \text{falls} |x^{(i)}_i| \leq 1 \\ 0 &\; \text{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Das gefällt mir ganz und gar nicht ! Was soll denn
> [mm]x^{(i)}_i[/mm] sein ?
>
> Das obere i in (i) stammt aus [mm]\IN[/mm] und das untere i aus M
> ?!?
>
> Das passt nicht !
>
> Gruß FRED
Ich versuche nochmal meinen Ansatz zu retten.
Da [mm] $M\;$ [/mm] unendlich ist gibt es eine injektive Abblidung [mm] $\varphi: \IN \to [/mm] M$
Nun definiere ich [mm] $y=(y_m)_{m \in M}$ [/mm] folgendermaßen:
[mm]y_m=\begin{cases}x^{\varphi^{-1}(m)}_{m}+1 &\; \text{falls}\; \varphi^{-1}(m) \not= \emptyset\; \text{und}\;|x^{\varphi^{-1}(m)}_m| \leq 1 \\ 0 &\; \text{sonst} \end{cases}[/mm]
Liegt $m [mm] \in [/mm] M$ im Bild von [mm] $\varphi$, [/mm] so enthält [mm] $\varphi^{-1}(m)$ [/mm] aufgrund der Injektivität von [mm] $\varphi$ [/mm] nur ein Element. Da ist für die Definition von $y [mm] \;$ [/mm] wichtig.
Es ist dann [mm]y_m < 2[/mm] für alle [mm]m \in M[/mm] und somit
[mm]||y||_{\infty}<2[/mm], also [mm]y \in B(M,\IR)[/mm], aber
[mm]||y-x^{(n)}||_{\infty} \geq |y_{\varphi(n)}-x^{(n)}_{\varphi(n)}| \geq 1[/mm] für $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Nun haben wir also einen Widerspruch zur Dichtheit von [mm](x^{(n)})[/mm] in [mm]B(M,\IR)[/mm]. M muss also endlich sein.
Passt das jetzt? Und wenn nicht, meint ihr dass man mit meinem Ansatz überhaupt zum Ziel kommt?
"[mm]\Leftarrow[/mm]"
Ist M endlich, so ist [mm]B(M,\IR)[/mm] isometrisch isomorph zu
[mm]\IR^n[/mm] mit [mm]n = |M|\;[/mm]. Es ist [mm]\IQ^n[/mm] abzählbar und dicht in [mm]\IR^n[/mm], also ist [mm]B(M,\IR)[/mm] separabel.
Stimmt denn die Rückrichtung?
Danke für eure Hilfe!
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 09.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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