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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Di 15.05.2007 | | Autor: | Sarah86 |
| Aufgabe | Auch im Kardinalzahlaspekt können Rechenoperationen wie
Addition und Multiplikation folgendermaßen eingeführt werden:
Sei [mm]Omega[/mm] eine Menge endlicher Mengen und seien A, B [mm] \in \Omega [/mm].
Addition: a + b = [mm]\left I A \cup B\right I[/mm], falls [mm]A\ cap B\ =\emptyset[/mm]
Multiplikation: [mm]a * b = \left I A \times B\right I[/mm]
a) Warum muß man bei der Definition der Addition [mm]A \cap B\ =\ emptyset[/mm] voraussetzen? Erläutern Sie dies!
b) Beweisen Sie im Kardinalzahlaspekt mit Hilfe der Definitionen von Addition, Multiplikation und Gleichmächtigkeit von Mengen folgende Rechengesetze:
i) a + b = b + a ,
ii) [mm]a *b = b *a[/mm] ,
iii)[mm]a * ( b +c ) =a *b +a *c[/mm].
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Hallo zusammen!
Ich muss für die Uni folgende Aufgabe lösen:
Zu a) denke ich, dass [mm]A \cap B\ =\ emptyset[/mm] vorausgesetzt werden müssen, weil A und B verschiedene Elemente enthalten muss. Wenn sie u.a. gleiche Elemente enthielten wäre 2+3 nicht 5 sondern vielleicht 3.
Mit der b) bin ich ziemlich überfordert.
i) wenn a + b = [mm]\left I A \cup B \right I[/mm], kann man das ja eigentlich einfach umdrehen. Aber mir scheint das nicht wirklich ein Beweis für die Aussage zu sein.
Bei ii) würd ich auch so vorgehen, sehe aber das gleiche Problem wie bei i)
Könnte man auch sagen, dass die Mengen [mm]\left I A \cup B \right I[/mm] und [mm]\left I B \cup A \right I[/mm] gleichmächtig sind, oder hab ich das falsch verstanden?
Danke schon mal für jeden Tipp, den ich bekomme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Da [mm]A \cup B = B \cup A [/mm] und [mm]A \times B = B \times A [/mm] sind die resultierenden Mengen natürlich auch gleichmächtig. Aufgabenteil iii) funktioniert analog.
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