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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Ax=b mit Nullvektor lösbar?
Ax=b mit Nullvektor lösbar? < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ax=b mit Nullvektor lösbar?: Allgemeine Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Sa 19.05.2012
Autor: Jack159

Hallo,

Wenn man prüfen möchte, ob ein Gleichungssystem Ax=b lösbar ist, dann kann man sich ja folgenden Satz zur hilfe nehmen:


Sei A eine Matrix mit den Spaltenvektoren a1, a2,..., am.
1. Ax=b ist lösbar $ [mm] \gdw [/mm] $ b $ [mm] \in [/mm] $ span{a1, a2,..., am}

2. Ax=b ist eindeutig lösbar $ [mm] \gdw [/mm] $ b $ [mm] \in [/mm] $ span{a1, a2,..., am} und rgA=m


Als Beispiel sei nun folgendes Gleichungssystem gegeben (Ich habs mir grad spontan ausgedacht):

[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 3 & 8}\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}=\vektor{2 \\ 5 \\ 3} [/mm]

Die Vektoren aus A sind linear abhängig, da sie den Nullvektor enthalten. Demnach dürfte das System nicht eindeutig lösbar sein.
Aber das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar....

x2+2x3=2
5x3=5
3x2+8x3

Warum ist das doch eindeutig lösbar? Das Widerspricht ja dem 2. Satz aus dem obigen Satz....


        
Bezug
Ax=b mit Nullvektor lösbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Sa 19.05.2012
Autor: barsch

Hallo,

> Aber das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar....
>  
> x2+2x3=2
>  5x3=5
>  3x2+8x3
>  
> Warum ist das doch eindeutig lösbar? Das Widerspricht ja
> dem 2. Satz aus dem obigen Satz....
>  

ist es nicht. Du kannst [mm] $x_1$ [/mm] beliebig wählen!

Also ist es nicht eindeutig lösbar.

Gruß
barsch


Bezug
                
Bezug
Ax=b mit Nullvektor lösbar?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 Sa 19.05.2012
Autor: Jack159

Hallo,

Stimmt, x1 kommt in meinen 3 Gleichungen garnicht vor und ist somit dann garnicht eindeutig bestimmbar...

Danke erneut für deine Hilfe ;)

Bezug
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