Automorphismus: Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 So 09.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Ist [mm] \lambda \in [/mm] K Eigenwert des Automorphismus f: V [mm] \to [/mm] V und [mm] \lambda \not= [/mm] 0, so ist [mm] \lambda^{-1} [/mm] Eigenwert des Automorphismus [mm] f^{-1} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe gerade nicht weiter.
Ich weiß dass [mm] f^{-1} [/mm] die Umkehrabbildung ist, da das ein Automorphismus ist und dieser bijektiv ist. Sie ist also eindeutig zugeordnet.
Mein Ansatz war bis jetzt:
[mm] f(\vec{x})=\lambda [/mm] * [mm] \vec{x} \Rightarrow f^{-1}(\lambda [/mm] * [mm] \vec{x})=\lambda *f^{-1}(\vec{x})
[/mm]
Aber irgendwie bringt mich das nicht weiter.
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Hallo,
> Ist [mm]\lambda \in[/mm] K Eigenwert des Automorphismus f: V [mm]\to[/mm] V
> und [mm]\lambda \not=[/mm] 0, so ist [mm]\lambda^{-1}[/mm] Eigenwert des
> Automorphismus [mm]f^{-1}[/mm]
> Hallo,
> ich komme bei dieser Aufgabe gerade nicht weiter.
>
> Ich weiß dass [mm]f^{-1}[/mm] die Umkehrabbildung ist, da das ein
> Automorphismus ist und dieser bijektiv ist. Sie ist also
> eindeutig zugeordnet.
>
> Mein Ansatz war bis jetzt:
> [mm]f(\vec{x})=\lambda[/mm] * [mm][mm] \vec{x}
[/mm]
Du hast also: $f(x) = [mm] \lambda*x$.
[/mm]
Da f Automorphismus, besitzt f eine lineare Umkehrabbildung [mm] f^{-1}. [/mm] Wende diese nun auf beiden Seiten der Gleichung an!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 09.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Du hast also: [mm]f(x) = \lambda*x[/mm].
Da f Automorphismus, besitzt f eine lineare Umkehrabbildung [mm]f^{- 1}.[/mm] Wende diese nun auf beiden Seiten der Gleichung an!
Also wenn ich das richtig verstanden habe:
[mm]f^{- 1}(f(x))[/mm]=[mm]f^{- 1}(\lambda*x)[/mm]
[mm]f^{- 1}(\lambda*x)[/mm]=[mm]f(x)[/mm]
[mm]\lambda*f^{- 1}(x)[/mm]=[mm]\lambda*x[/mm]
[mm]f^{- 1}(x)[/mm]=[mm]\bruch{\lambda*x}{\lambda}[/mm]
Eigentlich müsste ich ja jetzt auf [mm]f^{- 1}(x)[/mm]=[mm]\lambda^{-1}*x[/mm] kommen. Also muss da noch irgendwie ein Fehler drin sein?
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Hallo,
> > Du hast also: [mm]f(x) = \lambda*x[/mm].
> Da f Automorphismus,
> besitzt f eine lineare Umkehrabbildung [mm]f^{- 1}.[/mm] Wende diese
> nun auf beiden Seiten der Gleichung an!
>
> Also wenn ich das richtig verstanden habe:
> [mm]f^{- 1}(f(x))[/mm]=[mm]f^{- 1}(\lambda*x)[/mm]
> [mm]f^{- 1}(\lambda*x)[/mm]=[mm]f(x)[/mm]
Wie kommst du zu diesem Schritt?
Was ist auf der rechten Seite passiert?
Auf jeden Fall ist es viel einfacher, als du denkst:
Ausgehend von
[mm] $f^{-1}(f(x)) [/mm] = [mm] f^{-1}(\lambda*x)$
[/mm]
kommst du zu:
$x = [mm] f^{-1}(\lambda*x)$
[/mm]
( [mm] f^{-1} [/mm] ist Umkehrabbildung zu f !) Nun nur noch Linearität von [mm] f^{-1} [/mm] ausnutzen und durch [mm] \lambda [/mm] teilen.
Grüße,
Stefan
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