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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Sa 09.01.2010 | | Autor: | RomyM |
| Aufgabe | Man zeige, dass die Abbildung phi: [mm] Z+Z\wurzel{k} [/mm] --> [mm] Z+Z\wurzel{k} [/mm] mit [mm] phi(a+b\wurzel{k}) [/mm] = a - [mm] b\wurzel{k} [/mm] ein Automorphismus ist, falls k keine Quadratzahl ist.
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Hallo,
um zu zeigen, dass ein Automorphismus vorliegt, muss ich doch hier in diesem Fall nur noch die Homomorphiebedingung: phi(a+b) = phi(a) + phi(b) nachweisen. Die andere bedingung, dass eine Struktur in sich selbst abbildet ist laut aufgabenstellung ja schon gegeben, richtig?
Allerdings liegt nun mein Problem darin, wie ich dies an diesem kongreten beispiel machen muss.
wäre liebe, wenn mir dafür jemand einen Tipp/Lösungsansatz geben könnte. Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Sa 09.01.2010 | | Autor: | algieba |
Hi RomyM
> Man zeige, dass die Abbildung phi: [mm]Z+Z\wurzel{k}[/mm] -->
> [mm]Z+Z\wurzel{k}[/mm] mit [mm]phi(a+b\wurzel{k})[/mm] = a - [mm]b\wurzel{k}[/mm] ein
> Automorphismus ist, falls k keine Quadratzahl ist.
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> Hallo,
>
> um zu zeigen, dass ein Automorphismus vorliegt, muss ich
> doch hier in diesem Fall nur noch die Homomorphiebedingung:
> phi(a+b) = phi(a) + phi(b) nachweisen. Die andere
> bedingung, dass eine Struktur in sich selbst abbildet ist
> laut aufgabenstellung ja schon gegeben, richtig?
Im Prinzip ist es schon durch die Aufgabenstellung gegeben, aber ich würde das trotzdem nochmal schnell nachweisen. Ein Automorphismus ist ja ein Isomorphismus einer Struktur auf sich selbst. Dass es auf sich selbst ist, ist ja trivialerweise schon in der Aufgabe enthalten. Damit ist noch zu zeigen, dass es ein Isomorphismus ist. Dazu zeigt man Injektivität, Surjektivität und die Homomorphieeigenschaft.
Injektivität und Surjektivität sind nicht sehr schwer, und bei der Homomorphieeigenschaft musst du dir einfach zwei beliebige Elemente wählen, z.b. [mm]x=a+b\wurzel(k)[/mm] und [mm]y=c+d\wurzel(k)[/mm] und dann formst du einfach um dass du auf die Gleichung [mm]phi(x+y) = phi(x) + phi(y)[/mm] kommst.
Versuche das mal
Viele Grüße
algieba
> Allerdings liegt nun mein Problem darin, wie ich dies an
> diesem kongreten beispiel machen muss.
>
> wäre liebe, wenn mir dafür jemand einen
> Tipp/Lösungsansatz geben könnte. Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Sa 09.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo algieba,
> Injektivität und Surjektivität sind nicht sehr schwer,
> und bei der Homomorphieeigenschaft musst du dir einfach
> zwei beliebige Elemente wählen, z.b. [mm]x=a+b\wurzel(k)[/mm] und
> [mm]y=c+d\wurzel(k)[/mm] und dann formst du einfach um dass du auf
> die Gleichung [mm]phi(x+y) = phi(x) + phi(y)[/mm] kommst.
Man muss auch noch zeigen, dass [mm] $\phi(x [/mm] y) = [mm] \phi(x) \phi(y)$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Sa 09.01.2010 | | Autor: | algieba |
Hi Felix
Natürlich hast du Recht, das habe ich ganz vergessen.
Das geht aber auf die gleiche Art wie bei Plus nur etwas stressiger. Ich mache solche Aufgaben immer so, dass ich von beiden Seiten anfange umzuformen, und sich dann in der Mitte zu treffen (Tipp für RomyM)!!!
Danke für die Verbesserung
Viele Grüße
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> Hi Felix
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> Natürlich hast du Recht, das habe ich ganz vergessen.
Hallo,
nö, den Schuh mußt Du Dir nicht anziehen:
die Fragende vergaß anzugeben, daß es um Ringe geht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Sa 09.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > Natürlich hast du Recht, das habe ich ganz vergessen.
>
> nö, den Schuh mußt Du Dir nicht anziehen:
>
> die Fragende vergaß anzugeben, daß es um Ringe geht.
genau. Das wird erst wirklich klar, wenn man sich auch andere ihrer Fragen durchliest.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 09.01.2010 | | Autor: | RomyM |
Hi,
erstmal vielen Dank für die vielen und schnellen Antworten.
Also muss ich nur den Isomorphismus nachweisen.
Injektivität und Surjektivität ist ja klar, dass dies bei der Aufgabe der Fall sein muss, da es sich um eine Abildung in sich selbst handelt. (oder muss ich dies als Lösung noch weiter begründen?)
zur Homomorphie: wenn ich die 2 Elemente [mm] x=a+b\wurzel{k} [/mm] und [mm] y=c+d\wurzel{k} [/mm] habe, gilt ja dann, da ich mich in einem Ring befinde: phi(x+y)=phi(x) + phi(y). --> [mm] phi(a+b\wurzel{k} [/mm] + [mm] c+d\wurzel{k}) [/mm] = [mm] phi(a+b\wurzel{k}) [/mm] + [mm] phi(c+d\wurzel{k}).
[/mm]
Aber was soll bei der Aufgabe die Randbemerkung, dass dies nur gilt, wenn k keine Quadratzahl ist?
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> Hi,
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> erstmal vielen Dank für die vielen und schnellen
> Antworten.
> Also muss ich nur den Isomorphismus nachweisen.
> Injektivität und Surjektivität ist ja klar, dass dies bei
> der Aufgabe der Fall sein muss, da es sich um eine Abildung
> in sich selbst handelt. (oder muss ich dies als Lösung
> noch weiter begründen?)
Hallo,
die Tatsache allein, daß eine Abbildung aus der Menge M in die Menge M abbildet, macht ja noch keine Bijektivität.
"Offensichtlich ist die Abbildung bijektiv" wäre in meinen Augen die richtigere "Begründung"...
Ich würde zeigen, daß die Abbildung injektiv und surjektiv ist - ist ja weder schwer noch lang.
> zur Homomorphie: wenn ich die 2 Elemente [mm]x=a+b\wurzel{k}[/mm]
> und [mm]y=c+d\wurzel{k}[/mm] habe, gilt ja dann, da ich mich in
> einem Ring befinde: phi(x+y)=phi(x) + phi(y).
???
Vielleicht mißverstehe ich Dich, aber dies willst Du ja erst zeigen, oder?
-->
> [mm]phi(a+b\wurzel{k}[/mm] + [mm]c+d\wurzel{k})[/mm] = [mm]phi(a+b\wurzel{k})[/mm] +
> [mm]phi(c+d\wurzel{k}).[/mm]
> Aber was soll bei der Aufgabe die Randbemerkung, dass dies
> nur gilt, wenn k keine Quadratzahl ist?
Nehmen wir mal k=9.
Ich wüßte jetzt gar nicht, ob [mm] \phi [/mm] (3)=3 oder [mm] \phi(3)=\phi(\wurzel{9})=-\wurzel{9}=-3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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