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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mo 04.09.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo, hab folgende Frage zur Galoistheoire:
Sei [mm] K\subset [/mm] L eine Galoiserweiterung.
Gilt dann
a) für [mm] K=\IQ
[/mm]
b) für [mm] K=F_p, [/mm] p prim der endliche Körper mit p Elementen,
dass die Automorphismengruppe von L gleich der Galoisgruppe von [mm] K\subset [/mm] L ist und warum?
Einerseits ist doch z. B. [mm] |Aut(\IZ_3)|=2, [/mm] andererseits hab ich gelesen, dass [mm] Aut(F_{3^k}) [/mm] genau
die Galoisgruppe von [mm] F_3\subset F_{3^k} [/mm] ist. Warum lassen die Automorphismen von [mm] F_{3^k} [/mm] anscheinend
den Grundkörper fix?
Wär super, wenn mir jemand helfen kann...
LG, Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mo 04.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> Hallo, hab folgende Frage zur Galoistheoire:
>
> Sei [mm]K\subset[/mm] L eine Galoiserweiterung.
> Gilt dann
> a) für [mm]K=\IQ[/mm]
> b) für [mm]K=F_p,[/mm] p prim der endliche Körper mit p Elementen,
> dass die Automorphismengruppe von L gleich der
> Galoisgruppe von [mm]K\subset[/mm] L ist und warum?
Ja, das stimmt. Du kannst in diesen beiden Faellen naemlich jedes Element nur mit Hilfe von Addition, Subtraktion und Division durch $1$ darstellen -- und die $1$ wird per Definition von jedem Koerperautomorphismus festgehalten. Deswegen haelt jeder Automorphismus von $L$ bereits $K$ fest, womit jeder Automorphismus von $L$ in $Gal(L/K)$ liegt.
> Einerseits ist doch z. B. [mm]|Aut(\IZ_3)|=2,[/mm] andererseits hab
Nein, [mm] $\IZ_3$ [/mm] hat (ebenso wie [mm] $\IZ_p$ [/mm] fuer jede Primzahl und [mm] $\IQ$) [/mm] genau einen Automorphismus, und das ist die Identitaet: Das liegt an genau dem gleichen Grund wie oben.
Wenn du jedoch Gruppenautomorphismen von der additiven Gruppe [mm] $\IZ_3$ [/mm] betrachtest, davon gibt es genau zwei. Aber der eine ungleich der Identitaet ist halt kein Koerperautomorphismus, da er die $1$ nicht festhaelt.
LG Felix
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