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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Di 01.12.2009 | | Autor: | Burdy |
| Aufgabe | Für eine Gruppe G ist [mm] Aut(G):=\{f:G\to G|f Isomorphismus\} [/mm] und [mm] Inn(G):=\{f_{g}:G\to G, h\mapsto h^{g}|g\in G\}.
[/mm]
Zeigen sie:
a) Inn(G) Normalteiler in Aut(G)
b) Inn(G) ist Isomorph zu G/Z(G)
[mm] (Z(G)=\{g\in G| \forall x \in G:x^{g}=x\})
[/mm]
c) [mm] Aut(S_{3}) \cong S_{3} [/mm]
[mm] (S_{3} [/mm] symmetrische Gruppe) |
Hallo
Ich hoffe jemand kann mir mit der Aufgabe weiterhelfen.
a) hab ich schon hinbekommen
Aber bei b) und c) weiß ich nicht so recht.
b) heißt ja, wenn ich das richtig sehe, dass die Menge der Abbildungen von einem Element auf sein konjugiertes Element isomorph zu denjenigen Elementen ist, unter denen G selbstkonjugiert ist, verknüpft mit G. Da fällt mir ehrlich gesagt nichts zu ein. (Außer dass die Abbildungen [mm] f_{g} [/mm] für [mm] g\in [/mm] Z(G) die Identität sind, aber ka ob das weiterhilft.)
Und bei c) hab ich ein bisschen Probleme mit der Vorstellung der Abbildungen von Funktionen (Permutationen) auf Funktionen. Wie geb ich da denn eine Abbildung zwischen den beiden Gruppen an? Ich kann ja nur Elemente auf Elemente der selben Ordnung abbilden [mm] (1\mapsto [/mm] 1, (1 [mm] 2)\mapsto [/mm] (1 3), etc). Damit ich wieder von G in G lande müssen die Bilder wieder Permutationen sein, ich bilde also Permutationen auf Permutationen ab.
Wenn ich einfach ein [mm] f\in [/mm] Aut(G) nehme und als Abbildung [mm] f^{-1}: Aut(S_{3}) \to S_{3} (f^{-1} [/mm] ex, da f isomorph und [mm] f^{-1} [/mm] ist Homomorphismus), bin ich dann schon fertig? Oder ist das zu einfach gedacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mi 02.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für eine Gruppe G ist [mm]Aut(G):=\{f:G\to G|f Isomorphismus\}[/mm]
> und [mm]Inn(G):=\{f_{g}:G\to G, h\mapsto h^{g}|g\in G\}.[/mm]
>
> Zeigen sie:
> a) Inn(G) Normalteiler in Aut(G)
> b) Inn(G) ist Isomorph zu G/Z(G)
> [mm](Z(G)=\{g\in G| \forall x \in G:x^{g}=x\})[/mm]
> c) [mm]Aut(S_{3}) \cong S_{3}[/mm]
>
> [mm](S_{3}[/mm] symmetrische Gruppe)
>
> Ich hoffe jemand kann mir mit der Aufgabe weiterhelfen.
> a) hab ich schon hinbekommen
Gut.
> Aber bei b) und c) weiß ich nicht so recht.
> b) heißt ja, wenn ich das richtig sehe, dass die Menge der
> Abbildungen von einem Element auf sein konjugiertes Element
> isomorph zu denjenigen Elementen ist, unter denen G
> selbstkonjugiert ist, verknüpft mit G. Da fällt mir
> ehrlich gesagt nichts zu ein. (Außer dass die Abbildungen
> [mm]f_{g}[/mm] für [mm]g\in[/mm] Z(G) die Identität sind, aber ka ob das
> weiterhilft.)
Schau dir doch die Abbildung $G [mm] \to [/mm] Inn(G)$, $g [mm] \mapsto f_g$ [/mm] an. Zeige, dass dies ein Homomorphismus ist. Dieser ist offenbar surjektiv (warum?). Zeige weiterhin, dass der Kern gerade $Z(G)$ ist.
Dann wende den Homomorphiesatz an.
> Und bei c) hab ich ein bisschen Probleme mit der
> Vorstellung der Abbildungen von Funktionen (Permutationen)
> auf Funktionen. Wie geb ich da denn eine Abbildung zwischen
> den beiden Gruppen an? Ich kann ja nur Elemente auf
> Elemente der selben Ordnung abbilden [mm](1\mapsto[/mm] 1, (1
> [mm]2)\mapsto[/mm] (1 3), etc). Damit ich wieder von G in G lande
> müssen die Bilder wieder Permutationen sein, ich bilde
> also Permutationen auf Permutationen ab.
> Wenn ich einfach ein [mm]f\in[/mm] Aut(G) nehme und als Abbildung
> [mm]f^{-1}: Aut(S_{3}) \to S_{3} (f^{-1}[/mm] ex, da f isomorph und
> [mm]f^{-1}[/mm] ist Homomorphismus), bin ich dann schon fertig? Oder
> ist das zu einfach gedacht?
Verwende doch mal a) und b). Daraus folgt doch erstmal, dass $Aut(G)$ einen Normalteiler enthaelt, der isomorph zu [mm] $S_3$ [/mm] ist.
Jetzt musst du zeigen, dass alle Automorphismen bereits innere Automorphismen sind: daraus folgt dann $Aut(G) = Inn(G) [mm] \cong S_3$. [/mm] Alternativ kannst du zeigen, dass $|Aut(G)| [mm] \le [/mm] 6 = [mm] |S_3|$ [/mm] ist.
Ein Automorphismus von $G$ muss ein Element der Ordnung 2 bzw. 3 wieder auf ein Element der Ordnung 2 bzw. 3 abbilden. Wieviele Elemente der Ordnung 3 gibt es? Wieviele der Ordnung 2? Ueberlege dir, das ein Automorphismus durch die Bilder von zwei Elementen (eins von Ordnung 3 und eins von Ordnung 2) bereits eindeutig festgelegt ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 08.12.2009 | | Autor: | Burdy |
Danke, hab auch mittlerweile die Lösung gesehen.
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