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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mo 20.08.2007 | | Autor: | julia.k |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau eine abelsche Gruppe der Ordnung 203 gibt. Bestimmen Sie eine nicht-abelsche Gruppe dieser Ordnung. |
Hallo!
Ich habe zu dieser Aufgabe die Musterlösung, die so beginnt:
Die Primzerlegung der Zahl 203 ist [mm] 7\*29. [/mm] Die Gruppe [mm] \IZ/<7>\times\IZ/<29> [/mm] hat die Ordnung 203. Nach dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen ist jede abelsche Gruppe der Ordnung 203 dazu isomorph.
Die Automorphismen-Gruppe von [mm] \IZ/<29> [/mm] besteht aus 28 Elementen... usw.
Jetzt meine Frage: Woher weiß ich, aus wie vielen Elementen diese Automorphismengruppe besteht?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mo 20.08.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Julia!
> Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau eine abelsche
> Gruppe der Ordnung 203 gibt. Bestimmen Sie eine
> nicht-abelsche Gruppe dieser Ordnung.
> Hallo!
>
> Ich habe zu dieser Aufgabe die Musterlösung, die so
> beginnt:
> Die Primzerlegung der Zahl 203 ist [mm]7\*29.[/mm] Die Gruppe
> [mm]\IZ/<7>\times\IZ/<29>[/mm] hat die Ordnung 203. Nach dem
> Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen ist jede abelsche
> Gruppe der Ordnung 203 dazu isomorph.
> Die Automorphismen-Gruppe von [mm]\IZ/<29>[/mm] besteht aus 28
> Elementen... usw.
>
> Jetzt meine Frage: Woher weiß ich, aus wie vielen Elementen
> diese Automorphismengruppe besteht?!
Diese Gruppe hat 28 erzeugende Elemente, und ein Automorphismus ist durch das Bild eines erzeugenden Elements völlig festgelegt. Da ich 28 Möglichkeiten für das Bild eines festen erz. Elements habe, gibt es 28 Automorphismen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 20.08.2007 | | Autor: | julia.k |
Hey vielen Dank erstmal für deine Antwort! Aber ganz hab ich's noch nicht:
1) [mm] \IZ/<29> [/mm] hat doch nicht 28, sondern 29 Elemente ?!
2) Kannst du mir zufällig sagen, woher du das hast, dass das ein Automorphismus durch das Bild eines erz. Elts festgelegt ist... ist das irgendein besonderer Satz? Kann mich an keinen solchen erinnnern.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mo 20.08.2007 | | Autor: | statler |
Hi noch mal!
> Hey vielen Dank erstmal für deine Antwort! Aber ganz hab
> ich's noch nicht:
>
> 1) [mm]\IZ/<29>[/mm] hat doch nicht 28, sondern 29 Elemente ?!
Jaja, aber nur 28 davon sind Erzeugende. Das neutrale Element - also die Null - nicht. Für jeden Homomorphismus zwischen Gruppen ist f(e) = e.
> 2) Kannst du mir zufällig sagen, woher du das hast, dass
> das ein Automorphismus durch das Bild eines erz. Elts
> festgelegt ist... ist das irgendein besonderer Satz? Kann
> mich an keinen solchen erinnnern.
Das wird eher so zwischendurch als Übungsaufgabe abgehandelt. Wenn f ein Homomorphismus ist und g ein erzeugendes El., dann sind [mm] g^{1}, [/mm] ... , [mm] g^{28}, g^{29} [/mm] = e alle Elemente. Aber es ist [mm] f(g^{n}) [/mm] = [mm] f(g)^{n}, [/mm] und damit steht f fest, wenn es auf einem Erzeuger feststeht. Wenn f ein Isomorphismus sein soll, müssen wegen der Bijektivität die [mm] f(g)^{n}'s [/mm] verschieden sein, was bedeutet, daß f(g) auch ein Erzeuger sein muß.
So verständlich?
Gruß
Dieter
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Mo 20.08.2007 | | Autor: | julia.k |
Danke!!! So leuchtet mir das ein! Bin ich froh.
Schönen Tag noch!
glg Steffi
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Hallo!
Ich hab ein ähnliches Problem mir leuchtet es aber das zweite Teil nicht ein.
>Bestimmen Sie eine nicht-abelsche Gruppe dieser Ordnung.
wie komme ich denn auf sowas?
Ich wäre da für eine hilfe sehr dankbar.
Herzliche Grüße,
Sprockel
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> Ich hab ein ähnliches Problem mir leuchtet es aber das
> zweite Teil nicht ein.
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> >Bestimmen Sie eine nicht-abelsche Gruppe dieser Ordnung.
>
> wie komme ich denn auf sowas?
> Ich wäre da für eine hilfe sehr dankbar.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich kann Dir hierzu einen Fahndungshinweis geben.
Schau mal in Deinen schlauen Büchern/Skript dort nach, wo die endlichen Gruppen klassifiziert werden.
Da kommen auch Gruppen der Ordnung pq vor, p,q Primzahlen.
Hier mußt Du Dich insbesondere dem Fall p|(q-1) widmen, es wird gezeigt, daß es bis auf Isomorphie genau die eine nichtabelsch Gruppe der Ordnung pq gibt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:41 Fr 07.09.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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