Automatische Differentiation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mi 08.07.2009 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Die Funktion [mm] f(x_1,x_2)=\bruch{sin(\bruch{x_1}{x_2})+\bruch{x_1}{x_2}-exp(x_2)}{\bruch{x_1}{x_2}-exp(x_2)} [/mm] ist im Punkt [mm] x=(1.5,0.5)^T [/mm] auszuwerten. |
Hallo,
anhand dieser Aufgabe wollte ich einmal konkret die automatische Differentiation anwenden; also die Berechnung der Ableitung in x durch Zerlegung der Funktion in Elementaroperationen und die Auswertung dieser Elementaroperationen. Ich habe die Aufgabe aus dem Internet und dort ist auch eine vermeintliche Musterlösung - aber mein Ergebnis widerspricht dieser ![[]](/images/popup.gif) Lösung (Seite 12). Ich poste mal meine Lösung, vielleicht fällt euch mein Fehler auf.
[mm] x_3:=\bruch{x_1}{x_2}=\bruch{1,5}{0,5}=3
[/mm]
[mm] \nabla{x_3}=\bruch{1}{x_2}-\bruch{x_1}{(x_2)^2}=\bruch{x_2-x_1}{(x_2)^2}=-4
[/mm]
[mm] x_4:=sin(x_3)=sin(3)
[/mm]
[mm] \nabla{x_4}=cos(x_3)*\nabla{x_3}=cos(3)*(-4)
[/mm]
[mm] x_5:=exp(x_2)=exp(0,5)
[/mm]
[mm] \nabla{x_5}=exp(x_2)*1=exp(0,5)
[/mm]
[mm] x_6:=x_4+x_3-x_5=sin(3)+3-exp(0,5)
[/mm]
[mm] \nabla{x_6}=\nabla{x_4}+\nabla{x_3}-\nabla{x_5}=cos(3)*(-4)-4-exp(0,5)
[/mm]
[mm] x_7:=x_3-x_5=3-exp(0,5)
[/mm]
[mm] \nabla{x_7}=\nabla{x_3}-\nabla{x_5}=-4-exp(0,5)
[/mm]
[mm] x_8:=\bruch{x_6}{x_7}=\bruch{sin(3)+3-exp(0,5)}{3-exp(0,5)}
[/mm]
[mm] \nabla{x_8}=\nabla{x_6}\bruch{1}{x_7}+\nabla{(x_7)^{-1}}*x_6=\bruch{cos(3)*(-4)-4-exp(0,5)}{3-exp(0,5)}-(3-exp(0,5))^{-2}*(-4-exp(0,5))*(sin(3)+3-exp(0,5))\approx{3,37}
[/mm]
Ist das korrekt, oder hat sich ein Fehler eingeschlichen - Nur wo ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Gruß barsch
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Hallo barsch,
> Die Funktion
> [mm]f(x_1,x_2)=\bruch{sin(\bruch{x_1}{x_2})+\bruch{x_1}{x_2}-exp(x_2)}{\bruch{x_1}{x_2}-exp(x_2)}[/mm]
> ist im Punkt [mm]x=(1.5,0.5)^T[/mm] auszuwerten.
> Hallo,
>
> anhand dieser Aufgabe wollte ich einmal konkret die
> automatische Differentiation anwenden; also die Berechnung
> der Ableitung in x durch Zerlegung der Funktion in
> Elementaroperationen und die Auswertung dieser
> Elementaroperationen. Ich habe die Aufgabe aus dem Internet
> und dort ist auch eine vermeintliche Musterlösung - aber
> mein Ergebnis widerspricht dieser
> Lösung (Seite 12).
> Ich poste mal meine Lösung, vielleicht fällt euch mein
> Fehler auf.
>
> [mm]x_3:=\bruch{x_1}{x_2}=\bruch{1,5}{0,5}=3[/mm]
>
> [mm]\nabla{x_3}=\bruch{1}{x_2}-\bruch{x_1}{(x_2)^2}=\bruch{x_2-x_1}{(x_2)^2}=-4[/mm]
Hier hast Du wohl nach [mm]x_{2}[/mm], wie in der Aufgabe, differenziert.
Dann muß hier aber stehen:
[mm]\nabla{x_3}=-\bruch{x_1}{(x_2)^2}[/mm]
>
> [mm]x_4:=sin(x_3)=sin(3)[/mm]
>
> [mm]\nabla{x_4}=cos(x_3)*\nabla{x_3}=cos(3)*(-4)[/mm]
>
> [mm]x_5:=exp(x_2)=exp(0,5)[/mm]
>
> [mm]\nabla{x_5}=exp(x_2)*1=exp(0,5)[/mm]
>
> [mm]x_6:=x_4+x_3-x_5=sin(3)+3-exp(0,5)[/mm]
>
> [mm]\nabla{x_6}=\nabla{x_4}+\nabla{x_3}-\nabla{x_5}=cos(3)*(-4)-4-exp(0,5)[/mm]
>
> [mm]x_7:=x_3-x_5=3-exp(0,5)[/mm]
>
> [mm]\nabla{x_7}=\nabla{x_3}-\nabla{x_5}=-4-exp(0,5)[/mm]
>
> [mm]x_8:=\bruch{x_6}{x_7}=\bruch{sin(3)+3-exp(0,5)}{3-exp(0,5)}[/mm]
>
> [mm]\nabla{x_8}=\nabla{x_6}\bruch{1}{x_7}+\nabla{(x_7)^{-1}}*x_6=\bruch{cos(3)*(-4)-4-exp(0,5)}{3-exp(0,5)}-(3-exp(0,5))^{-2}*(-4-exp(0,5))*(sin(3)+3-exp(0,5))\approx{3,37}[/mm]
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> Ist das korrekt, oder hat sich ein Fehler eingeschlichen -
> Nur wo
>
> Gruß barsch
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Do 09.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo MathePower,
danke, dann werde ich mir das jetzt noch mal noch mal ansehen.
Gruß barsch
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