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| Aufgabe | Bestimmung der Autokorrelationsfunktion von [mm] p(t)=rect(\bruch{t-\bruch{T}{2}}{T})*sin(\bruch{\pi*t}{T})
[/mm]
( Wobei [mm] rect(\bruch{t-\bruch{T}{2}}{T}) [/mm] quasi eine Fensterung des Sinus im Bereich 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] T bewirkt ) |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da dies mein erster Beitrag in diesem Forum ist, bitte ich um etwas Nachsicht falls ich etwas falsch mache!
Es geht darum, auf rechnerischem Wege die Autokorrelationsfunktion der obenstehenden Funktion zu bestimmen. Die Lösung ist mit [mm] R(\nu)=\bruch{T-|\nu|}{2}*cos(\bruch{\pi*t}{T}) [/mm] + [mm] \bruch{T}{2*\pi}*sin(\bruch{\pi*|\nu|}{T}) [/mm] bereits gegeben, allerdings komme ich seit zwei Tagen schon nicht darauf, wie dieses Ergebnis zustandekommt.
Ich habe (erfolglos) diese beiden Rechenwege ausprobiert:
1) Über die "Rechenregel" für die AKF: [mm] R(\nu)=\integral_{\infty}^{\infty}{p(t) * p(t+\nu) dt}
[/mm]
2) (Fourier)-Transformation von p(t) in den Frequenzbereich, Quadrierung des entstehenden Spektrums, Rücktransformation in den Zeitbereich (da [mm] R(\nu)=[p(t) [/mm] gefaltet mit p(-t)] [mm] \Rightarrow [/mm] Fouriertransformiert: P(f)*P(f) - Faltung im Zeitbereich = Multiplikation im Frequenzbereich)
Ich schätze, daß in diesem Fall der zweite Weg zu umständlich ist, aber auch bei der Integration verhake ich mich andauernd und blicke allmählich überhaupt nicht mehr durch. Was sind in diesem Falle die richtigen Integrationsgrenzen (ich vermute -t bis +t) und wie berücksichtige ich die Rechteckfunktion innerhalb des Integrals?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Ansatz für die Lösung des Problems geben könnte!
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 27.08.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Gabbiadini,
bei dieser Art von Aufgabe sollte man sich erst mal die Funktion hinmalen und versuchen, die Integrationsgrenzen sich klarzumachen. Zunächst einmal langt es, die Autokorrellierte über die Rechenregel für postive $ [mm] \nu [/mm] $ zu bestimmen, da die AKF eine gerade Funktion ist. Die Funktionen, die miteinander zu multiplizieren sind , sind die beiden "positiven Halbbögen" der Sinusfunktion, Du weisst schon, was ich meine, und die Integralgrenzen ergeben sich aus folgender Überlegung. Verschiebe ich den einen Sinusbogen, der die Integralvariable enthält, um einen Wert $ [mm] \nu [/mm] $, so wandert der Bogen nach links auf der t-Achse, dort ist aber die erste Funktion bereits Null. Die untere Integralgrenze ist demzufolge die Null, die obere ist von $ [mm] \nu [/mm] $ abhängig und ergibt sich zu $ T - [mm] \nu [/mm] $. Damit erhält man als Integral für die AKF
$$ R [mm] (\nu) [/mm] = [mm] \int_0^{T-\nu} \sin (\bruch{\pi t }{T}) \cdot \sin(\bruch{\pi}{T} [/mm] (t+v) ) dt [mm] \, [/mm] . $$
Dieses Integral kann man nach den Additionstheoremen der trigonometrischen Funktionen in einfachere Integranden umformen und diese dann integrieren. Die Rechnung geht über eine halbe Seite. Hierbei entstehen eine Menge Terme, die Sinusfunktionen oder das Produkt von Sinusfunktionen mit Cosinusfunktionen enthalten, aus diesem Grund trägt die untere Integralgrenze nichts zum Integral bei. Es langt also die obere Grenze einzusetzen und dabei erhält man dann
$$ R [mm] (\nu) [/mm] = [mm] \cos(\bruch{\nu \pi}{T}) \cdot \left( \bruch{1}{2} ( T - \nu) - \bruch{T}{4 \pi} \sin(\bruch{2 \pi \cdot (T-\nu)}{T}) \right) [/mm] + [mm] \sin(\bruch{\nu \pi}{T}) \cdot \bruch{T}{2\pi} \sin^2 (\bruch{ \pi \cdot (T-\nu)}{T}) [/mm] $$
Eigentlich ist die Aufgabe damit gelöst, der Rest ist umformen, um auf die Lösung zu kommen, die Du angegeben hast. Der Sinusquadratterm lässt sich durch einen Gleichanteil und den Cosinus des doppelten Argumentes wiedergeben.
$$ [mm] R(\nu) [/mm] = [mm] \cos(\bruch{\nu \pi}{T}) \cdot \left( \bruch{1}{2} ( T - \nu) - \bruch{T}{4 \pi} \sin(\bruch{2 \pi \cdot (T-\nu)}{T}) \right)+ \sin(\bruch{\nu \pi}{T}) \cdot \left( \bruch{T}{4\pi} - \bruch{T}{4\pi} \cos(\bruch{2 \pi \cdot (T-\nu)}{T}) \right) [/mm] $$
Die Terme, die ein Produkt aus Sinus- und Cosinusfunktion enthalten, lassen sich wieder durch die Additionstheoreme zusammenfassen und zwar zu einem Sinusterm, der die Summe der Argumente enthält. So erhält man $$ [mm] R(\nu) [/mm] = [mm] \cos(\bruch{\nu\pi}{T}) \cdot \bruch{T-\nu}{2} [/mm] + [mm] \bruch{T}{4\pi}\sin(\bruch{\nu\pi}{T}) [/mm] - [mm] \bruch{T}{4\pi}\sin(2\pi [/mm] - [mm] \bruch{\nu\pi}{T}) [/mm] $$
Jetzt sind wir fast fertig, denn $ [mm] -\bruch{T}{4\pi}\sin(2\pi [/mm] - [mm] \bruch{\nu\pi}{T}) [/mm] $ ist nichts weiter, aufgrund der Periodizität des Sinus, als $ [mm] \bruch{T}{4\pi} \sin(\bruch{\nu\pi}{T} [/mm] $. Juchhu, damit lassen sich auch die Sinusterme zusammenfassen und übrig bleibt Dein Ergebnis, man muss nur noch $ [mm] \nu [/mm] $ in Betragsstriche setzen und heraus kommt Dein Ergebnis, wobei Du Dich beim ersten Cosinusterm vertippt hast, denn in dem darf nicht mehr die Variable t auftauchen.
Nach diesem Erfolgserlebnis werde ich erst mal Kaffee trinken  .
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 So 27.08.2006 | | Autor: | gabbiadini |
Hallo Infinit,
vielen, vielen Dank für Deine ausführliche Hilfestellung!
Gerade die Erklärung zu den Grenzen hat mir sehr geholfen, da hatte ich den völlig falschen Ansatz. Bisher war ich davon ausgegangen, daß diese den Bereich wiedergeben, in dem die AKF Werte [mm] \not=0 [/mm] besitzt.
Ich habe die Aufgabe jetzt noch einmal komplett von Anfang bis Ende durchgerechnet, und bin schlußendlich auch aufs richtige Endergebnis gekommen - auch wenn ich auf dem Weg bis dahin mehr als einmal ins Stocken geraten bin und es noch ein wenig zu lange gedauert hat 
Nochmals vielen Dank!
Thomas
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