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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Domme |
| Aufgabe 1 | Beschreiben Sie die folgenden Aussagen mit Ihren eigenen Worten. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussagen wahr oder falsch snd. Geben Sie eine Begründung an.
(a) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : n = [mm] k^{2},
[/mm]
(b) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : [mm] n^{2} [/mm] = k,
(c) [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] n^{2} [/mm] = k. |
| Aufgabe 2 | Seien P, Q und R Aussagen.
(a) Stellen Sie zu der Verknüpfung (P [mm] \vee \neg [/mm] Q) [mm] \wedge \neg [/mm] (R [mm] \vee [/mm] Q) eine Wahrheitstafel auf.
(b) Zeigen Sie, dass (P [mm] \Rightarrow [/mm] Q) [mm] \equiv (\neg [/mm] P [mm] \vee [/mm] Q). |
Zu Aufgabe 1)
(a) Für alle n, welches ein Element aus der Menge der natürlichen Zahlen ist, existiert ein k, welches ein Element aus der Menge der natürlichen Zaheln ist, für die gilt: Jede Zahl n ist gleich dem Quadrat aus k.
Die Aussage ist falsch!
Begründung: Es seien n, k [mm] \in \IN
[/mm]
Wenn die Aussage wahr wäre, würde für n=2 gelten:
n = [mm] k^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2 = [mm] k^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] k [mm] \approx [/mm] 1,4142...
k ist in diesem Fall keine natürliche Zahl! [mm] \Box
[/mm]
(b) Für alle n, welches ein Element aus der Menge der natürlichen Zahlen ist, existiert ein k, welches ein Element aus der Menge der natürlichen Zaheln ist, für die gilt: Jedes Quadrat aus n ist gleich der Zahl k.
Die Aussage ist wahr!
Begründung: Jedes n, welches man quadriert, bleibt eine natürliche Zahl und so existiert auch das k, welches Element der natürlichen Zahl ist.
(c) Es existiert ein k, welches ein Element aus der Menge der natürlichen Zahlen ist, für alle n, welches ein Element aus der Menge der natürlichen Zaheln ist, für die gilt: Jede Quadrat aus n ist gleich der Zahl k.
Die Aussage ist wahr! Begründung: siehe (b)
Zu Aufgabe 2)
(a) (P [mm] \vee \neg [/mm] Q) [mm] \wedge \neg [/mm] (R [mm] \vee [/mm] Q)
P Q R | (P [mm] \vee \neg [/mm] Q) | [mm] \neg [/mm] (R [mm] \vee [/mm] Q) | (P [mm] \vee \neg [/mm] Q) [mm] \wedge \neg [/mm] (R [mm] \vee [/mm] Q)
w w w w f f
w w f w f f
w f w w f f
w f f w w w
f w w f f f
f f w w f f
f w f f f f
f f f w w w
(b)
P Q | (P [mm] \Rightarrow [/mm] Q) | [mm] \neg [/mm] P | [mm] (\neg [/mm] P [mm] \vee [/mm] Q)
w w w f w
w f f f f
f w w w w
f f w w w
[mm] \overbrace{(P \Rightarrow Q)} \overbrace{(\neg P \vee Q)} \Box
[/mm]
Ist dies alles richtig? Weil ich mir nicht bei allem sicher bin.
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Hallo Domme,
> Beschreiben Sie die folgenden Aussagen mit Ihren eigenen
> Worten. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussagen wahr oder
> falsch snd. Geben Sie eine Begründung an.
>
> (a) [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN \exists[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] : n = [mm]k^{2},[/mm]
> (b) [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN \exists[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] : [mm]n^{2}[/mm] = k,
> (c) [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IN \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]n^{2}[/mm] = k.
>
> Seien P, Q und R Aussagen.
> (a) Stellen Sie zu der Verknüpfung (P [mm]\vee \neg[/mm] Q) [mm]\wedge \neg[/mm]
> (R [mm]\vee[/mm] Q) eine Wahrheitstafel auf.
> (b) Zeigen Sie, dass (P [mm]\Rightarrow[/mm] Q) [mm]\equiv (\neg[/mm] P [mm]\vee[/mm]
> Q).
>
> Zu Aufgabe 1)
> (a) Für alle n, welches ein Element aus der Menge der
> natürlichen Zahlen ist, existiert ein k, welches ein
> Element aus der Menge der natürlichen Zaheln ist, für die
> gilt: Jede Zahl n ist gleich dem Quadrat aus k.
Oder lax: Jede nat. Zahl lässt sich als Quadrat einer nat. Zahl darstellen
>
> Die Aussage ist falsch!
>
> Begründung: Es seien n, k [mm]\in \IN[/mm]
> Wenn die Aussage wahr
> wäre, würde für n=2 gelten:
> n = [mm]k^{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 2 = [mm]k^{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] k [mm]\approx[/mm] 1,4142...
> k ist in diesem Fall keine natürliche Zahl! [mm]\Box[/mm]
Jo
>
> (b) Für alle n, welches ein Element aus der Menge der
> natürlichen Zahlen ist, existiert ein k, welches ein
> Element aus der Menge der natürlichen Zaheln ist, für die
> gilt: Jedes Quadrat aus n ist gleich der Zahl k.
>
> Die Aussage ist wahr!
>
> Begründung: Jedes n, welches man quadriert, bleibt eine
> natürliche Zahl und so existiert auch das k, welches
> Element der natürlichen Zahl ist.
Ja, zu beliebig, aber fest fixiertem [mm] $n\in\IN$ [/mm] wähle [mm] $k:=n^2\in\IN$, [/mm] dann ist [mm] $n^2=k$
[/mm]
>
> (c) Es existiert ein k, welches ein Element aus der Menge
> der natürlichen Zahlen ist, für alle n, welches ein
> Element aus der Menge der natürlichen Zaheln ist, für die
> gilt: Jede Quadrat aus n ist gleich der Zahl k.
>
> Die Aussage ist wahr! Begründung: siehe (b)
Nein, das kann doch nicht stimmen.
Es soll eine nat. Zahl $k$ geben, die Quadrat einer jeden nat. Zahl $n$ ist?
Gib mal ein solches k an, das solltest du ja angeben können, wenn die Aussage stimmt ...
Versuche lieber eine Widerlegung der Aussage!
>
> Zu Aufgabe 2)
> (a) (P [mm]\vee \neg[/mm] Q) [mm]\wedge \neg[/mm] (R [mm]\vee[/mm] Q)
> P Q R | (P [mm]\vee \neg[/mm] Q) | [mm]\neg[/mm] (R [mm]\vee[/mm] Q) | (P [mm]\vee \neg[/mm]
> Q) [mm]\wedge \neg[/mm] (R [mm]\vee[/mm] Q)
> w w w w f f
> w w f w f f
> w f w w f f
> w f f w w w
> f w w f f f
> f f w w f f
> f w f f f f
> f f f w w w
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (b)
> P Q | (P [mm]\Rightarrow[/mm] Q) | [mm]\neg[/mm] P | [mm](\neg[/mm] P [mm]\vee[/mm] Q)
> w w w f w
> w f f f f
> f w w w w
> f f w w w
> [mm]\overbrace{(P \Rightarrow Q)} \overbrace{(\neg P \vee Q)} \Box[/mm]
>
> Ist dies alles richtig? Weil ich mir nicht bei allem sicher
> bin.
Ist soweit ok, in Teil 1 könntest du das sprachlich etwas laxer und nicht so "gestelzt" und an die wörtliche Übersetzung der Quantoren formulieren. Und (c) musst du nochmal nachschauen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Domme |
> > (c) Es existiert ein k, welches ein Element aus der Menge
> > der natürlichen Zahlen ist, für alle n, welches ein
> > Element aus der Menge der natürlichen Zaheln ist, für die
> > gilt: Jede Quadrat aus n ist gleich der Zahl k.
> >
> > Die Aussage ist wahr! Begründung: siehe (b)
>
> Nein, das kann doch nicht stimmen.
>
> Es soll eine nat. Zahl [mm]k[/mm] geben, die Quadrat einer jeden
> nat. Zahl [mm]n[/mm] ist?
Stimmt, da hast du recht das kann auch nicht stimmen. Also ist die Aussage auch falsch!
> Gib mal ein solches k an, das solltest du ja angeben
> können, wenn die Aussage stimmt ...
>
> Versuche lieber eine Widerlegung der Aussage!
Soll ich dann einfach sagen, dass dies ja einfach nicht möglich ist. Eine einzige Zahl kann ja nicht das Quadrat einer jeden nat. Zahl n sein.
Oder würde das so nicht ausreichen?
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Hallo nochmal,
> > > (c) Es existiert ein k, welches ein Element aus der Menge
> > > der natürlichen Zahlen ist, für alle n, welches ein
> > > Element aus der Menge der natürlichen Zaheln ist, für die
> > > gilt: Jede Quadrat aus n ist gleich der Zahl k.
> > >
> > > Die Aussage ist wahr! Begründung: siehe (b)
> >
> > Nein, das kann doch nicht stimmen.
> >
> > Es soll eine nat. Zahl [mm]k[/mm] geben, die Quadrat einer jeden
> > nat. Zahl [mm]n[/mm] ist?
>
> Stimmt, da hast du recht das kann auch nicht stimmen. Also
> ist die Aussage auch falsch!
Genau!
> > Gib mal ein solches k an, das solltest du ja angeben
> > können, wenn die Aussage stimmt ...
> >
> > Versuche lieber eine Widerlegung der Aussage!
>
> Soll ich dann einfach sagen, dass dies ja einfach nicht
> möglich ist. Eine einzige Zahl kann ja nicht das Quadrat
> einer jeden nat. Zahl n sein.
>
> Oder würde das so nicht ausreichen?
Nein, das reicht nicht, das musst du ja genau begründen/beweisen. (Intuitiv ist es klar)
Die Verneinung der Aussage ist [mm]\neg \ \left(\exist k\in\IN\forall n\in\IN:n^2=k\right)[/mm]
Man dreht alle Quantoren um und negiert die Aussage:
[mm]\forall k\in\IN\exists n\in\IN:n^2\neq k[/mm]
Und das (also die Negation der Aussage in (c)) kann man leicht formal zeigen.
Sei [mm]k\in\IN[/mm] beliebig, aber fest.
Nun müssen wir ein [mm]n\in\IN[/mm] angeben, so dass [mm]k\neq n^2[/mm] ist.
Wie könnte ein solches [mm]n[/mm] zB. lauten?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Domme |
> Hallo nochmal,
>
> > > > (c) Es existiert ein k, welches ein Element aus der Menge
> > > > der natürlichen Zahlen ist, für alle n, welches ein
> > > > Element aus der Menge der natürlichen Zaheln ist, für die
> > > > gilt: Jede Quadrat aus n ist gleich der Zahl k.
> > > >
> > > > Die Aussage ist wahr! Begründung: siehe (b)
> > >
> > > Nein, das kann doch nicht stimmen.
> > >
> > > Es soll eine nat. Zahl [mm]k[/mm] geben, die Quadrat einer jeden
> > > nat. Zahl [mm]n[/mm] ist?
> >
> > Stimmt, da hast du recht das kann auch nicht stimmen. Also
> > ist die Aussage auch falsch!
>
> Genau!
>
> > > Gib mal ein solches k an, das solltest du ja angeben
> > > können, wenn die Aussage stimmt ...
> > >
> > > Versuche lieber eine Widerlegung der Aussage!
> >
> > Soll ich dann einfach sagen, dass dies ja einfach nicht
> > möglich ist. Eine einzige Zahl kann ja nicht das Quadrat
> > einer jeden nat. Zahl n sein.
> >
> > Oder würde das so nicht ausreichen?
>
> Nein, das reicht nicht, das musst du ja genau
> begründen/beweisen. (Intuitiv ist es klar)
>
> Die Verneinung der Aussage ist [mm]\neg \ \left(\exist k\in\IN\forall n\in\IN:n^2=k\right)[/mm]
>
> Man dreht alle Quantoren um und negiert die Aussage:
>
> [mm]\forall k\in\IN\exists n\in\IN:n^2\neq k[/mm]
>
> Und das (also die Negation der Aussage in (c)) kann man
> leicht formal zeigen.
>
> Sei [mm]k\in\IN[/mm] beliebig, aber fest.
>
> Nun müssen wir ein [mm]n\in\IN[/mm] angeben, so dass [mm]k\neq n^2[/mm]
> ist.
>
> Wie könnte ein solches [mm]n[/mm] zB. lauten?
Ich würde jetzt sagen zb. n = 5 oder bin ich jetzt völlig auf dem falschen Weg? Bin gerade etwas verwirrt.
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo nochmal,
> > Die Verneinung der Aussage ist [mm]\neg \ \left(\exist k\in\IN\forall n\in\IN:n^2=k\right)[/mm]
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> > Man dreht alle Quantoren um und negiert die Aussage:
> >
> > [mm]\forall k\in\IN\exists n\in\IN:n^2\neq k[/mm]
> >
> > Und das (also die Negation der Aussage in (c)) kann man
> > leicht formal zeigen.
> >
> > Sei [mm]k\in\IN[/mm] beliebig, aber fest.
> >
> > Nun müssen wir ein [mm]n\in\IN[/mm] angeben, so dass [mm]k\neq n^2[/mm]
> > ist.
> >
> > Wie könnte ein solches [mm]n[/mm] zB. lauten?
>
> Ich würde jetzt sagen zb. n = 5 oder bin ich jetzt völlig
> auf dem falschen Weg?
Hmm, wenn unser beliebig gewähltes [mm]k\in\IN[/mm] nun zufällig 25 war, so ist aber mit [mm]n=5[/mm] doch [mm]n^2=25=k[/mm].
> Bin gerade etwas verwirrt.
Das zu wählende [mm]n[/mm] wird doch von [mm]k[/mm] abhängen ...
Wie sieht's zB. mit [mm]n:=k+1[/mm]. Das ist eine nat. Zahl.
Und gilt [mm]n^2\neq k[/mm]?
Das musst du nachweisen ...
Zeige mal schlüssig, dass mit dem so gewählten $n$ gilt: [mm] $k\neq n^2$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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