Aussagen zu Matrizennormen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Do 24.10.2019 | | Autor: | Drake_ij |
Hallo Leute, ich sitze seit einer ganzen Weile vor folgenden Aufgabe ich habe einfach keine Ideen mehr, wie ich die Aufgabe lösen soll. Die Aufgabe lautet:
Aufgabe
_______
Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{ n \times n}$ [/mm] für $n [mm] \in \mathbb{N}$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die zu den Vektornormen [mm] $\vert \vert \cdot \vert \vert_{1}$, $\vert \vert \cdot \vert \vert_{2}$ [/mm] und [mm] $\vert \vert \cdot \vert \vert_{\infty}$ [/mm] zugehörigen natürlichen Matrizennormen folgende Relationen erfüllen:
$a)$ [mm] \vert \vert \vert [/mm] A [mm] \vert \vert \vert_{1}$ [/mm] = [mm] max_{j =1, \ldots, n} \sum\limits_{i = 1}^{n} \vert a_{ij} \vert$
[/mm]
$b)$ [mm] \vert \vert \vert [/mm] A [mm] \vert \vert \vert_{\infty}$ [/mm] = [mm] max_{i =1, \ldots, n} \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{ij} \vert$ [/mm]
$a)$ [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}} \vert \vert \vert [/mm] A [mm] \vert \vert \vert_{\infty} \le \vert \vert \vert [/mm] A [mm] \vert \vert \vert_{2} \le \sqrt{n} \vert \vert \vert [/mm] A [mm] \vert \vert \vert_{\infty}$ [/mm]
Ansätze
_______
Zu a)
______
[mm] $\vert \vert \vert [/mm] A [mm] \vert \vert \vert [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{\vert \vert Ax \vert \vert_{1}}{\vert \vert x \vert \vert_{1}} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{ \left \vert \left \vert \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
\end{pmatrix} \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots \\
x_{n} \\
\end{array}
\right) \right \vert \right \vert_{1}}{\vert \vert x \vert \vert_{1}} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{ \left \vert \left \vert \left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots a_{1n}x_{n}\\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots a_{2n}x_{n}\\
\vdots \\
a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots a_{nn}x_{n} \\
\end{array}
\right) \right \vert \right \vert_{1}}{\vert \vert x \vert \vert_{1}} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{ \left \vert \left \vert \left(
\begin{array}{c}
\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j}\\
\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j}\\
\vdots \\
\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \\
\end{array}
\right) \right \vert \right \vert_{1}}{\vert \vert x \vert \vert_{1}} [/mm]
= [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert + \ldots + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert}{\vert x_{1} \vert + \vert x_{2} \vert + \ldots + \vert x_{n} \vert } [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{\sum\limits_{i = 1}^{n} \vert \sum\limits_{j = ^1}^{n} a_{ij} x_{j} \vert}{\sum\limits_{i = 1}^{n} \vert x_{i} \vert }$
[/mm]
Aber ab hier komme ich nicht weiter und ehrlich gesagt, zweifle ich langsam ein wenig daran. Ich kann nirgends etwas ausklammern, weil die Betragsstriche im Weg stehen. Zumindest konnte ich nicht erkennen, wo man etwas ausklammern könnte.
Kann mir jemand hierbei helfen?
Zu b)
______
[mm] $\vert \vert \vert [/mm] A [mm] \vert \vert \vert [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{\vert \vert Ax \vert \vert_{1}}{\vert \vert x \vert \vert_{1}} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{ \left \vert \left \vert \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
\end{pmatrix} \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots \\
x_{n} \\
\end{array}
\right) \right \vert \right \vert_{1}}{\vert \vert x \vert \vert_{1}} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{ \left \vert \left \vert \left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots a_{1n}x_{n}\\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots a_{2n}x_{n}\\
\vdots \\
a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots a_{nn}x_{n} \\
\end{array}
\right) \right \vert \right \vert_{1}}{\vert \vert x \vert \vert_{1}} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{ \left \vert \left \vert \left(
\begin{array}{c}
\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j}\\
\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j}\\
\vdots \\
\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \\
\end{array}
\right) \right \vert \right \vert_{1}}{\vert \vert x \vert \vert_{1}} [/mm]
= [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{\left max \left \{ \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert, \ldots, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \right \} }{max \{ \vert x_{1} \vert, \vert x_{2} \vert, \ldots, \vert x_{n} \vert \} } [/mm] $
Auch hier komme ich leider nicht weiter....
Ich hoffe, mir kann jemand helfen.
Die c) versuche ich gerade noch einmal selber.
Würde mich auf eine Antwort freuen!
Liebe Grüße, Drake
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hiho,
zu allererst mach dir mal klar, dass man die Definition der Matrixnorm wie folgt umschreiben kann:
[mm] $\sup_{x\not=0} \frac{||Ax||}{||x||} [/mm] = [mm] \sup_{x\not=0} \left|\left|A\frac{x}{||x||}\right|\right|$
[/mm]
Nun ist für jedes x aber [mm] \frac{x}{||x||} [/mm] normiert, d.h. es gilt [mm] $\left|\left|\frac{x}{||x||}\right|\right| [/mm] = 1$, damit vereinfacht sich obiger Ausdruck zu:
[mm] $\sup_{||x||=1} [/mm] ||Ax||$, d.h. man betrachtet nur noch Vektoren mit Norm 1 und versucht für diese den Ausdruck ||Ax|| zu maximieren, damit fällt dann schickerweise auch der eklige Bruch weg.
Nun überlege dir zu deinen Aufgaben: Wie sehen Vektoren mit Norm 1 in den jeweiligen Ausgangsnormen aus?
Machen wir es mal am zweiten Beispiel, da hattest du ja bereits heraus:
[mm] $||Ax||_\infty [/mm] = [mm] \left max \left \{ \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert, \ldots, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \right \}$
Wann werden die Summen unter der Bedingung $||x||_\infty = 1$ maximal? Und wie kann man sie dann schreiben?
Gruß,
Gono
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Fr 25.10.2019 | | Autor: | Drake_ij |
Hallo! Vielen, vielen Dank für die Antwort.
> zu allererst mach dir mal klar, dass man die Definition der
> Matrixnorm wie folgt umschreiben kann:
>
> [mm]\sup_{x\not=0} \frac{||Ax||}{||x||} = \sup_{x\not=0} \left|\left|A\frac{x}{||x||}\right|\right|[/mm]
>
> Nun ist für jedes x aber [mm]\frac{x}{||x||}[/mm] normiert, d.h. es
> gilt [mm]\left|\left|\frac{x}{||x||}\right|\right| = 1[/mm], damit
> vereinfacht sich obiger Ausdruck zu:
>
> [mm]\sup_{||x||=1} ||Ax||[/mm], d.h. man betrachtet nur noch
> Vektoren mit Norm 1 und versucht für diese den Ausdruck
Ah, die Umformulierung habe ich im Tutorium auch gesehen, aber dachte nicht, dass diese so wichtig ist. Mein Tutor wird mich danach fragen, wenn ich diese Umformulierung ins Spiel bringe.
Würde ein formal korrekter Beweis dafür so aussehen? :
Behauptung
__________
Es gilt [mm] $sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{\vert \vert Ax \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \vert \vert [/mm] Ax [mm] \vert \vert \cdot \frac{1}{\vert \vert x \vert \vert}$
[/mm]
Wegen der Positiven Definitheit der Norm gilt: [mm] $\frac{1}{\vert \vert x \vert \vert} [/mm] = [mm] \left \vert \frac{1}{\vert \vert x \vert \vert} \right \vert$
[/mm]
Also haben wir:
[mm] $sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{\vert \vert Ax \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \vert \vert [/mm] Ax [mm] \vert \vert \cdot \frac{1}{\vert \vert x \vert \vert} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \vert \vert [/mm] Ax [mm] \vert \vert \cdot \left \vert \frac{1}{\vert \vert x \vert \vert} \right \vert [/mm] $
Wegen der Homogenität der Norm gilt: [mm] $\vert \vert [/mm] Ax [mm] \vert \vert \cdot \left \vert \frac{1}{\vert \vert x \vert \vert} \right \vert [/mm] = [mm] \left \vert \left \vert Ax \cdot \frac{1}{\vert \vert x \vert \vert} \; \right \vert
\right \vert$#
[/mm]
Also haben wir:
[mm] $sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \frac{\vert \vert Ax \vert \vert}{\vert \vert x \vert \vert} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \vert \vert [/mm] Ax [mm] \vert \vert \cdot \frac{1}{\vert \vert x \vert \vert} [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \vert \vert [/mm] Ax [mm] \vert \vert \cdot \left \vert \frac{1}{\vert \vert x \vert \vert} \right \vert [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \left \vert \left \vert Ax \cdot \frac{1}{\vert \vert x \vert \vert} \right \vert \right \vert [/mm] = [mm] sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \left \vert \left \vert \frac{Ax }{\vert \vert x \vert \vert} \right \vert \right \vert= sup_{0 \neq x \in \mathbb{R}^{n}} \left \vert \left \vert A \cdot \frac{x }{\vert \vert x \vert \vert} \right \vert \right \vert [/mm] = [mm] sup_{\vert \vert x \vert \vert = 1} \vert \vert [/mm] Ax [mm] \vert \vert$
[/mm]
q.e.d
Passt das als Beweis?
Habe das nur gemacht, um mir die äquivalente Formulierung klar zu machen.
Nun zur b)
__________
Ich hätte dann:
[mm] $\vert \vert \vert [/mm] A [mm] \vert \vert \vert [/mm] = [mm] sup_{\vert \vert x \vert \vert = 1} \vert \vert [/mm] Ax [mm] \vert \vert_{\infty} [/mm] = [mm] sup_{\vert \vert x \vert \vert = 1} \left max \left \{ \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert, \ldots, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \right \} $
Dafür hast mir einen Tipp gegeben, mit den ich zugegebenermaßen noch nicht weiter komme...
Vielleicht hängt das mit dem Skalarprodukt ab, da
$ sup_{\vert \vert x \vert \vert = 1} \left max \left \{ \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert, \ldots, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \right \} = sup_{\vert \vert x \vert \vert = 1} \left max \left \{ \left \vert \langle (a_{1j}), x \rangle \right \vert, \left \vert \langle (a_{2j}), x \rangle \right \vert, \ldots, \left \vert \langle (a_{nj}), x \rangle \right \vert \}
= sup_{\vert \vert x \vert \vert = 1} \left max \left \{ \left \vert \; \; \vert \vert (a_{1j}) \vert \vert \cdot \vert \vert x \vert \vert \cdot cos(\varphi) \right \vert, \left \vert \; \; \vert \vert (a_{2j}) \vert \vert \cdot \vert \vert x \vert \vert \cdot cos(\varphi) \right \vert, \ldots, \left \vert \; \; \vert \vert (a_{nj}) \vert \vert \cdot \vert \vert x \vert \vert \cdot cos(\varphi) \right \vert \} = sup_{\vert \vert x \vert \vert = 1} \left max \left \{ \left \vert \; \; \vert \vert (a_{1j}) \vert \vert \cdot cos(\varphi) \right \vert, \left \vert \; \; \vert \vert (a_{2j}) \vert \vert \cdot cos(\varphi) \right \vert, \ldots, \left \vert \; \; \vert \vert (a_{nj}) \vert \vert \cdot cos(\varphi) \right \vert \}
Mehr fällt mir dazu leider nicht mehr ein...
Freue mich auf eine Antwort!
lg, Drake
[/mm]
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Hiho,
> Passt das als Beweis?
Sehr kleinschrittig, aber korrekt.
Weiter mit der b): Machen wir das mal so kleinschrittig wie bei deinem Beweis.
[mm] $\max \left \{ \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert, \ldots, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \right \} [/mm] $
Betrachten wir mal jedes einzelne Argument aus dem Maximum, nehmen wir oBdA mal das erste:
[mm] $\left |\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right|$
[/mm]
i) Du hast also obigen Ausdruck, wann wird dieser möglichst groß (und wie groß?), wenn du die [mm] x_j [/mm] beliebig wählen dürftest?
ii) Wie groß wird der obige Ausdruck maximal, wenn du die Einschränkung [mm] $||x||_\infty [/mm] = 1$ beachtest? Was bedeutet das denn für die [mm] x_j?
[/mm]
Wenn dir das im Allgemeinen zu schwer ist, überlege es dir vorher an einem Beispiel.
Nehmen wir also an, wir hätten $n=3$, dann hätten wir sowas wie:
[mm] $a_1x_1 [/mm] + [mm] a_2x_2 [/mm] + [mm] a_3x_3$ [/mm] und nimm [mm] $a_1 [/mm] = 2, [mm] a_2 [/mm] = -3, [mm] a_3 [/mm] = 1$ und beantworte obige Fragen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Fr 25.10.2019 | | Autor: | Drake_ij |
Ahhh, ich glaube, ich hab's.
> [mm]\left |\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right|[/mm]
> i) Du hast also obigen Ausdruck, wann wird dieser
> möglichst groß (und wie groß?), wenn du die [mm]x_j[/mm] beliebig
> wählen dürftest?
Also, da habe ich mir überlegt, die Dreiecksungleichung zu verwenden.
Es gilt dann [mm] $\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert$.
[/mm]
Also kann [mm] $\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert [/mm] $ maximal den Wert [mm] $\sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert$ [/mm] annehmen.
> > ii) Wie groß wird der obige Ausdruck maximal, wenn du die
> Einschränkung [mm]||x||_\infty = 1[/mm] beachtest? Was bedeutet das
> denn für die [mm]x_j?[/mm]
Nun, wir haben [mm] $\vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert_{\infty} [/mm] = max [mm] \{ \vert x_{1} \vert, \vert x_{2} \vert, \ldots, \vert x_{n} \vert \} [/mm] = 1 [mm] \Leftrightarrow x_{1} [/mm] = 1$ und $ [mm] x_{j} \le [/mm] 1 $ (für (j [mm] \neq [/mm] i).
Wir hätten dann die Abschätzung:
[mm] $\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert$ [/mm] (natürlich unter der Bedingung [mm] $\vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert _{\infty} [/mm] = 1$).
Daraus folgt dann, dass
$max [mm] \left \{ \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert, \ldots, \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \right \} [/mm] = [mm] max_{i =1, \ldots, n } \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{ij} \vert$.
[/mm]
Stimmt das ?
Liebe Grüße, Drake
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Hiho,
> Stimmt das ?
Mal das positive vorweg: Fast 
> Also, da habe ich mir überlegt, die Dreiecksungleichung zu
> verwenden.
>
> Es gilt dann [mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert[/mm].
Gut. Aber bei der Dreiecksungleichung weißt du nicht, ob du nicht "zu grob" abschätzt.
D.h. du weißt nicht, ob die obere Schranke wirklich angenommen wird.
Kannst du denn zeigen, dass es ein Vektor mit [mm] $||x||_\infty [/mm] = 1$ gibt (z.B. indem du ihn konkret angibst), so dass
[mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert = \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert[/mm].
Dann wüsstest du, dass deine Abschätzung nicht zu strikt ist.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Fr 25.10.2019 | | Autor: | Drake_ij |
Hallo nochmal 
Da bin ich beruhigt, dass ich auf der richtigen Spur bin!
> Kannst du denn zeigen, dass es ein Vektor mit [mm]||x||_\infty = 1[/mm]
> gibt (z.B. indem du ihn konkret angibst), so dass
> [mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert = \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert[/mm].
Da bin ich etwas verwirrt. Also die Dreiecksungleichung für Summen haben wir in Ana 1 gezeigt.
Also darf ich die Ungleichung [mm] $\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert [/mm] $ verwenden, oder?
Müsste ich dann nicht eher ein Vektor angeben, so dass [mm] $\sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert$ [/mm] gilt? Diese Gleichung gilt dann z.B. für den Vektor $x = [mm] (1,1,\ldots, 1)^{T}$.
[/mm]
Vielleicht meinst du das selbe.
Sonst fällt mir kein Vektor $x$ ein, mit [mm] $\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert$.
[/mm]
Darf ich dich etwas zu a) fragen?
Da bin ich nun mit deinem Tipp von heute morgen auf folgendes gekommen:
[mm] $\vert \vert \vert [/mm] A [mm] \vert \vert \vert_{1} [/mm] = [mm] \sup\limits_{\vert \vert x \vert \vert_{1} = 1} \vert \vert [/mm] A [mm] x\vert \vert_{1} [/mm] = [mm] \sup\limits_{\vert \vert x \vert \vert_{1} = 1} \left \{ \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert + \ldots + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \right \}$
[/mm]
Das heißt, ich müsste die Summe [mm] $\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert [/mm] + [mm] \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert$ [/mm] unter der Bedingung [mm] $\vert \vert [/mm] x [mm] \vert \vert_{1} [/mm] = 1$ maximieren, oder?
Falls ja, dann würde mit der Dreiecksungleichung wieder gelten:
[mm] $\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert [/mm] + [mm] \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert [/mm] + [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{2j} x_{j} \vert [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{nj} x_{j} \vert$
[/mm]
Aber hier fehlt mir die Idee, weil dieses Mal nicht eine Komponente der Vektors $x$ 1 sein muss, sondern alle Komponenten können kleiner als 1 sein und in der betragsmäßigen Summe dann 1 ergeben.
Wie könnte man hier vorgehen?
lg, Drake
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Hiho,
> Da bin ich etwas verwirrt. Also die Dreiecksungleichung
> für Summen haben wir in Ana 1 gezeigt.
>
> Also darf ich die Ungleichung [mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert[/mm]
> verwenden, oder?
Grundsätzlich gilt die natürlich.
Du bekommst damit aber nur eine obere Schranke und weißt nicht, ob diese dein Supremum darstellt!
Ein einfaches Beispiel:
Nehmen wir an, du möchtest bestimmen [mm] $\sup_{x = 1, y=-1} [/mm] |x+y|$.
D.h. das Supremum von |x+y| und x darf nur 1 und y nur -1 sein.
Offensichtlich ist $|x+y| = |1-1| = 0$ und damit [mm] $\sup_{x = 1, y=-1} [/mm] |x+y| = 0$
Nach der Dreiecksungleichung ist aber $|x+y| [mm] \le [/mm] |x| + |y| = 1 + 1 = 2$
Du kannst nun offensichtlich nicht schlussfolgern: [mm] $\sup_{x = 1, y=-1} [/mm] |x+y| = 2$
Was du bekommst, ist: [mm] $\sup_{x = 1, y=-1} [/mm] |x+y| [mm] \le [/mm] 2$
Wenn du 2 als dein Supremum identifizieren möchtest, ist ein weg z.B. zu zeigen, dass dieses auch angenommen wird.
Modifizieren wir unser Beispiel von oben ein wenig zu: [mm] $\sup_{x,y = \pm 1} [/mm] |x+y|$
Nun gilt wie oben wieder durch die Dreiecksungleichung [mm] $\sup_{x,y = \pm 1} [/mm] |x+y| [mm] \le [/mm] 2$ und mit $x=y=1$ können wir ein gültiges Beispiel angeben, für das sogar $|x+y| = 2$ gilt.
D.h. es folgt: [mm] $\sup_{x,y = \pm 1} [/mm] |x+y| = 2$
Nun zurück zu deiner Aufgabe: Du hattest bereits
[mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert[/mm] für alle $x$ mit $||x|| = 1$.
Gibt es nun ein x, so dass sogar Gleichheit gilt?
> Müsste ich dann nicht eher ein Vektor angeben, so dass
> [mm]\sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert = \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert[/mm] gilt?
Wegen obigem musst du das tun.
> Diese Gleichung gilt dann z.B. für den Vektor [mm]x = (1,1,\ldots, 1)^{T}[/mm]
Wieder nur fast!
Zurück zu unserem Beispiel zwei Posts vorher: $ [mm] a_1x_1 [/mm] + [mm] a_2x_2 [/mm] + [mm] a_3x_3 [/mm] $ und nimm $ [mm] a_1 [/mm] = 2, [mm] a_2 [/mm] = -3, [mm] a_3 [/mm] = 1 $
Mit deinem Vektor gilt: $ [mm] a_1x_1 [/mm] + [mm] a_2x_2 [/mm] + [mm] a_3x_3 [/mm] = 2 - 3 + 1 = 0$
Aber: $ [mm] |a_1| [/mm] + [mm] |a_2| [/mm] + [mm] |a_3| [/mm] = 6$
Wie müsste ein Vektor aussehen, damit $ [mm] a_1x_1 [/mm] + [mm] a_2x_2 [/mm] + [mm] a_3x_3 [/mm] = 6$?
> Darf ich dich etwas zu a) fragen?
Klar.
>
> [mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert + \ldots + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{2j} x_{j} \vert + \ldots + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{nj} x_{j} \vert[/mm]
>
> Aber hier fehlt mir die Idee, weil dieses Mal nicht eine
> Komponente der Vektors [mm]x[/mm] 1 sein muss, sondern alle
> Komponenten können kleiner als 1 sein und in der
> betragsmäßigen Summe dann 1 ergeben.
Diese Information hast du ja noch gar nicht benutzt!
Schaffst du es obiges so umzuformen, dass du [mm] $c*\sum_{j=1}^n |x_j|$ [/mm] mit einem geeigneten Ausdruck c bekommst?
Denn dann kannst du ja [mm] $||x||_1 [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n |x_j| [/mm] = 1$ noch benutzen.
Tipp: Es ist $|ab| = |a||b|$ und für einen beliebigen Ausdruck [mm] $A_j$ [/mm] gilt [mm] $A_j \le \max_j A_j$ [/mm] und [mm] $\max_j A_j$ [/mm] hängt nicht mehr von j ab!
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:18 So 27.10.2019 | | Autor: | Drake_ij |
> Hiho,
>
> > Da bin ich etwas verwirrt. Also die Dreiecksungleichung
> > für Summen haben wir in Ana 1 gezeigt.
> >
> > Also darf ich die Ungleichung [mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert[/mm]
> > verwenden, oder?
> Grundsätzlich gilt die natürlich.
> Du bekommst damit aber nur eine obere Schranke und weißt
> nicht, ob diese dein Supremum darstellt!
>
> Ein einfaches Beispiel:
>
> Nehmen wir an, du möchtest bestimmen [mm]\sup_{x = 1, y=-1} |x+y|[/mm].
>
> D.h. das Supremum von |x+y| und x darf nur 1 und y nur -1
> sein.
> Offensichtlich ist [mm]|x+y| = |1-1| = 0[/mm] und damit [mm]\sup_{x = 1, y=-1} |x+y| = 0[/mm]
>
> Nach der Dreiecksungleichung ist aber [mm]|x+y| \le |x| + |y| = 1 + 1 = 2[/mm]
>
> Du kannst nun offensichtlich nicht schlussfolgern: [mm]\sup_{x = 1, y=-1} |x+y| = 2[/mm]
>
> Was du bekommst, ist: [mm]\sup_{x = 1, y=-1} |x+y| \le 2[/mm]
>
> Wenn du 2 als dein Supremum identifizieren möchtest, ist
> ein weg z.B. zu zeigen, dass dieses auch angenommen wird.
> Modifizieren wir unser Beispiel von oben ein wenig zu:
> [mm]\sup_{x,y = \pm 1} |x+y|[/mm]
> Nun gilt wie oben wieder durch
> die Dreiecksungleichung [mm]\sup_{x,y = \pm 1} |x+y| \le 2[/mm] und
> mit [mm]x=y=1[/mm] können wir ein gültiges Beispiel angeben, für
> das sogar [mm]|x+y| = 2[/mm] gilt.
> D.h. es folgt: [mm]\sup_{x,y = \pm 1} |x+y| = 2[/mm]
Ah, das macht Sinn. Das ist eigentlich ein Beispiel, auf das ich kommen müsste. Das kommt davon, wenn man jedes Mal die Ungleichung benutzt, ohne genau zu hinterfragen, was diese eigentlich genau bedeutet. Ich danke dir dafür!
>
> Nun zurück zu deiner Aufgabe: Du hattest bereits
> [mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert[/mm]
> für alle [mm]x[/mm] mit [mm]||x|| = 1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
>
> Gibt es nun ein x, so dass sogar Gleichheit gilt?
Ja, das gibt es. Dazu stellen wir die Gleichung $\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} = \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert$ nach $x_{1}$ um und erhalten $x_{1} = \frac{ \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert - \sum\limits_{j = 2}^{n} a_{1j} x_{j} }{a_{11}$
Und damit ist unser gesuchtes $x$ von der Form $x = \left ( \frac{ \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert - \sum\limits_{j = 2}^{n} a_{1j} x_{j} }{a_{11}} , x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n})^{T} \right )$
>
> > Müsste ich dann nicht eher ein Vektor angeben, so dass
> > [mm]\sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert = \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert[/mm]
> gilt?
> Wegen obigem musst du das tun.
Dafür müsste ich nun kein Vektor mehr angeben, oder? Weil ich schon den obigen Vektor angegeben habe.
> > [mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert + \ldots + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{2j} x_{j} \vert + \ldots + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{nj} x_{j} \vert[/mm]
>
> >
> > Aber hier fehlt mir die Idee, weil dieses Mal nicht eine
> > Komponente der Vektors [mm]x[/mm] 1 sein muss, sondern alle
> > Komponenten können kleiner als 1 sein und in der
> > betragsmäßigen Summe dann 1 ergeben.
> Diese Information hast du ja noch gar nicht benutzt!
> Schaffst du es obiges so umzuformen, dass du
> [mm]c*\sum_{j=1}^n |x_j|[/mm] mit einem geeigneten Ausdruck c
> bekommst?
> Denn dann kannst du ja [mm]||x||_1 = \sum_{j=1}^n |x_j| = 1[/mm]
> noch benutzen.
>
> Tipp: Es ist [mm]|ab| = |a||b|[/mm] und für einen beliebigen
> Ausdruck [mm]A_j[/mm] gilt [mm]A_j \le \max_j A_j[/mm] und [mm]\max_j A_j[/mm] hängt
> nicht mehr von j ab!
Du meinst mit deinem Tipp also folgendes?:
[mm] $\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert [/mm] + [mm] \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert [/mm] + [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{2j} x_{j} \vert [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{nj} x_{j} \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert \cdot \vert x_{j} \vert [/mm] + [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{2j} \vert \cdot \vert x_{j} \vert [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{nj} \vert \cdot \vert x_{j} \vert \le [/mm] max [mm] \left \{ \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert \cdot \vert x_{j} \vert + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{2j} \vert \cdot \vert x_{j} \vert + \ldots + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{nj} \vert \cdot \vert x_{j} \vert \right \}$
[/mm]
Aber ich schaffe es nicht, das ganze auf die Form [mm] $c*\sum_{j=1}^n |x_j|$ [/mm] zu bringen! Das $ [mm] \vert x_{j} \vert$ [/mm] aus den Summanden auszuklammern bringt einem leider nicht weiter... Meinst du, das ist der richtige Weg?
Aber ich sehe da keine weitere Abschätzungsmöglichkeiten :/
lg, Drake
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Hiho,
> Ja, das gibt es. Dazu stellen wir die Gleichung
> [mm]\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} = \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert[/mm]
> nach [mm]x_{1}[/mm] um und erhalten [mm]x_{1} = \frac{ \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert - \sum\limits_{j = 2}^{n} a_{1j} x_{j} }{a_{11}[/mm]
Das enttäuscht mich jetzt… du hattest doch bereits, dass [mm] $|x_j| [/mm] = 1$ gelten muss.
Wähle [mm] $x_j [/mm] = [mm] \text{sgn}(a_{1j})$ [/mm] (also [mm] $x_j [/mm] = 1$, falls positiv, [mm] $x_j [/mm] = -1$ falls negativ) und du bekommst sofort: [mm] $\sum a_{1j}x_j [/mm] = [mm] \sum |a_{1j}|$
[/mm]
> Du meinst mit deinem Tipp also folgendes?:
>
> [mm]\left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j} \right \vert + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{2j} x_{j} \right \vert + \ldots + \left \vert \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j} \right \vert \le \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} x_{j} \vert + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{2j} x_{j} \vert + \ldots + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{nj} x_{j} \vert = \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{1j} \vert \cdot \vert x_{j} \vert + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{2j} \vert \cdot \vert x_{j} \vert + \ldots + \sum\limits_{j = 1}^{n} \vert a_{nj} \vert \cdot \vert x_{j} \vert[/mm]
$= [mm] \sum_{j=1}^n \left(|a_{1j}||x_j| + |a_{2j}||x_j| + \ldots + |a_{nj}||x_j|\right) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^n |a_{ij}|\right) |x_j| \le \sum_{j=1}^n \left(\max_j \sum_{i=1}^n |a_{ij}|\right) |x_j| [/mm] = c [mm] \sum_{j=1}^n |x_j|$
[/mm]
mit $c := [mm] \max_j \sum_{i=1}^n |a_{ij}|$
[/mm]
Gruß,
Gono
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