Aussagen über reelle Zahlenfol < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:51 Di 24.05.2005 | | Autor: | Adele |
Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe, bei der einige Aussagen über reelle Zahlenfolgen gegeben sind. Meine Aufgabe ist es nun, zu bestimmen ob sie war oder falsch sind und dies mit Beispiel oder Gegenbeispiel zu belegen. Und genau da liegt mein Problem, ich weiß nicht genau, wie ich das Formal beweisen soll/kann.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Aussagen:
1. Konvergiert die Folge [mm] (|a_{n}|), [/mm] so ist auch [mm] (a_{n}) [/mm] konvergent.
Die Aussage ist richtig, wir haben das in einem Satz in der Vorlesung gegeben, leider ohne Beweis.
2. Ist die Folge [mm] (|a_{n}|) [/mm] eine Nullfolge, so ist auch [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nullfolge.
Das gleiche wie bei Aussage 1, ist auch richtig und wir haben einen Satz in der Vorlesung, der dies besagt.
3. Ist [mm] (a_{n} [/mm] * [mm] b_{n}) [/mm] eine Nullfolge, so ist wenigstens eine der Folgen eine Nullfolge.
Ebenfalls richtig, kann ich das mit den Axiomen beweisen?
4. Aus [mm] (a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}) [/mm] konvergiert gegen 0, folgt die Konvergenz von [mm] (a_{n}).
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher, denke aber das die Aussage falsch ist.
Für ein wenig Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße,
Adele
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 24.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> 1. Konvergiert die Folge [mm](|a_{n}|),[/mm] so ist auch [mm](a_{n})[/mm]
> konvergent.
>
> Die Aussage ist richtig, wir haben das in einem Satz in der
> Vorlesung gegeben, leider ohne Beweis.
Kann ich mir nicht vorstellen - die Aussage ist falsch.. Probiere mal eine geschickte, konstante Folge ...
[2. aussage]
> Das gleiche wie bei Aussage 1, ist auch richtig und wir
> haben einen Satz in der Vorlesung, der dies besagt.
Ah - welchen?
> 3. Ist [mm](a_{n}[/mm] * [mm]b_{n})[/mm] eine Nullfolge, so ist wenigstens
> eine der Folgen eine Nullfolge.
>
> Ebenfalls richtig, kann ich das mit den Axiomen beweisen?
ich hoffe nicht - denn das ist auch falsch. Hier muss man jeweils die Folgen geschickt alternieren - es ist nämlich richtig, das das Produkt einer beschränkten und einer Nullfolge wieder eine ist.
> 4. Aus [mm](a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n})[/mm] konvergiert gegen 0, folgt die
> Konvergenz von [mm](a_{n}).[/mm]
>
> Hier bin ich mir nicht sicher, denke aber das die Aussage
> falsch ist.
Genau - eine prominente Reihe liefert hier das Gegenbeispiel.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Di 24.05.2005 | | Autor: | Adele |
Ein Satz aus unserer Vorlesung:
Satz 3.10: (0) [mm] (a_{n}) [/mm] NF [mm] \gdw (|a_{n}|)
[/mm]
(1) [mm] (a_{n}) [/mm] NF [mm] \gdw [/mm] (C * [mm] a_{n}) [/mm] C Konstante
(2) [mm] (a_{n}) [/mm] NF [mm] (b_{n}) [/mm] NF
[mm] \Rightarrow (a_{n} [/mm] + [mm] b_{n}) [/mm] NF
hmmm... jetzt bin ich verwirrt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Di 24.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Adele!
Diese Sätze sagen doch nur etwas über Nullfolgen (NF) aus, lassen sich also gar nicht auf Deine Aussage 1 anwenden.
Hier hätte ich aber mal ein Gegenbeispiel: [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] (-1)^n$
[/mm]
Gruß
Loddar
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