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Forum "Topologie und Geometrie" - Aussagen über Mengen
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Aussagen über Mengen: Warum keine Gleichheit?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mo 12.03.2012
Autor: clemenum

Aufgabe
Seien $X, Y $ Mengen, [mm] $\{A_i| i\in I \}$ [/mm] eine Familie von Teilmengen von $X$ und $f: [mm] X\rightarrow [/mm] Y $ eine Funktion. Man zeige:
[mm] $f(\cap_{i\in I} A_i [/mm] ) [mm] \subseteq \cap_{i\in I } f(A_i) [/mm] $

[mm] $(\Rightarrow): [/mm] $
Sei [mm] $x\in f(\cap_{i\in I } [/mm] ) [mm] \Rightarrow f^{-1} [/mm] (x) [mm] \in A_2 \wedge \ldots \wedge\ldots \Rightarrow x\in f(A_1) \wedge x\in f(A_2) \wedge x\in f(A_3) \wedge\ldots \Rightarrow x\in \cap_{i\in I } f(A_i) [/mm] $

Ich verstehe ehrlich gesagt überhaupt nicht, warum die logischen Schritte nicht (allgemein) umgedreht werden könnten. Wenn ein Element im Bild der Durchschnitte liegt, dann liegt doch das Urbild im Durchschnitt UND UMGEKEHRT. Wie/wo kann denn hier bitte eine echte Inklusion vorliegen?

Hat sich hier vielleicht der Angabeerfinder etwas falsches gedacht?

        
Bezug
Aussagen über Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Mo 12.03.2012
Autor: luis52

Moin,

das musst du sauberer aufschreiben.

Sei [mm] $x\in f(\bigcap_iA_i)$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $y\in\bigcap_iA_i$ [/mm] mit $f(y)=x_$. Dieses $y_$ ist Element von [mm] $A_i$ [/mm] fuer jedes $i_$. Also ist [mm] $y\in f(A_i)$ [/mm]  fuer jedes $i_$ und folglich [mm] $x=f(y)=\bigcap_if(A_i)$. [/mm]

Die Rueckrichtung gilt m.E. nicht. Betrachte [mm] $f:\IR\to\IR$, $x\mapsto x^2$, $A_1=(-\infty,+1]$, $A_2=[-1,+\infty)$. [/mm] Dann ist [mm] $4\in f(A_1)\cap f(A_2)$, [/mm] jedoch ist [mm] $4\notin f(A_1\cap A_2)$. [/mm]

vg Luis

Bezug
        
Bezug
Aussagen über Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Di 13.03.2012
Autor: tobit09

Hallo clemenum,

ich habe den Eindruck, du stellst dir f als bijektiv vor, was natürlich nicht der Fall sein muss. Du schreibst nämlich von [mm] $f^{-1}(x)$ [/mm] oder "das Urbild". I.A. kann x jedoch mehrere Urbilder unter f haben.

Viele Grüße
Tobias

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