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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie sich, ob die folgenden Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind.
1. Jede nicht leere Teilmenge von [mm] \IR^+_0 [/mm] hat ein Supremum in [mm] \IR^+_0. [/mm]
2. Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge und [mm] (b_n) [/mm] eine beschränkte Folge, dann ist [mm] (a_n*b_n) [/mm] konvergent.
3. Es seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] Folgen reeller Zahlen. Falls die Folge [mm] (a_n+b_n) [/mm] divergent ist, dann sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] b_n) [/mm] divergent.
4. Die Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty} 1/\wurzel{n} [/mm] ist konvergent.
5. Es gibt eine Umordnung der Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/n die konvergent ist.
6. Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass [mm] (\wurzel{\left| a_n \right| } [/mm] ) eine Nullfoge ist, dann ist [mm] \sum_{n} a_n [/mm] konvergent.
7. Die Aussage [mm] \lim_x->a [/mm] f(x) = b gilt genau dann, wenn es eine Folge [mm] (a_n) [/mm] gibt mit [mm] a_n [/mm] -> a und [mm] f(a_n) [/mm] -> b.
8. Sei [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine Funktion, deren Einschränkungen auf die Intervalle [mm] ]-\infty, [/mm] 0] und [0, [mm] \infty[ [/mm] stetig sind. Dann ist auch f stetig.
9. Falls f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion ist mit f(x) > 0 für alle x [mm] \in \IR, [/mm] dann ist auch die Funktion x -> [mm] \wurzel{f(x)} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar.
10. Es gilt exp(1-z) = e/exp(z) für alle komplexen Zahlen z. |
Hier meine Lösungen:
1. f
2. w
3. f
4. f
5. ?
6. w
7. w
8. f
9. w
10. w
Was sagt ihr zu meinen Lösungen und wenn meines fals ist, warum ist das andere dann richtig?
Vielen Dank schon einmal im Voraus!
Grüße,
Ben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Sa 09.10.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
da Du ja auf jede Frage eine Antwort hast, kannst Du sie sicherlich auch begründen. Schreib doch einfach mal die Begründung für jeden Punkt, dann kann man auch sagen wo evtl. etwas falsch ist oder nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
also dann will ich mal:
1. Der [mm] R_0^+ [/mm] ist ja auch eine nichtleere Teilmegne von sich selbst und hat kein Supremum.
2. [mm] a_n [/mm] ist Nullfolge und [mm] b_n [/mm] entweder nach oben oder unten beschränkt. Daraus ergibt sich ja schon mit Cauchy-Kriterium, dass das Produkt konvergent ist.
3. Gibt ein Gegenbeispiel: [mm] a_n [/mm] divergent und [mm] b_n [/mm] beschränkt, dann ist die Summe auch divergent.
4. ist der harmonischen Reihe ähnlich, nur die Wurzel aus aus jedem Glied. Und die harm. Reihe ist divergent.
5. Das weiß ich nicht.
6. Ist quasi das Wurzelkriterium.
7. folgt aus Definition für Grenzwerte für Funktionen. Ist ja nix anderes, wenn ich den Limes von f(x) mit x gegen a bilde, oder die Folge [mm] a_n [/mm] gegen a geht und ich [mm] f(a_n) [/mm] bilde.
8. Gegenbeispiel: Betragsfunktion.
9. Wurzelfunktion ist nur in 0 nicht Diffbar, aber 0 ist nach Definition ausgeschlossen.
10. keine Ahnung warum, aber warum sollte es nicht gelten, dann wäre es ja irgendwie unsinnig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Sa 09.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi,
> also dann will ich mal:
>
> 1. Der [mm]R_0^+[/mm] ist ja auch eine nichtleere Teilmegne von sich
> selbst und hat kein Supremum.
>
> 2. [mm]a_n[/mm] ist Nullfolge und [mm]b_n[/mm] entweder nach oben oder unten
> beschränkt. Daraus ergibt sich ja schon mit
> Cauchy-Kriterium, dass das Produkt konvergent ist.
>
> 3. Gibt ein Gegenbeispiel: [mm]a_n[/mm] divergent und [mm]b_n[/mm]
> beschränkt, dann ist die Summe auch divergent.
>
> 4. ist der harmonischen Reihe ähnlich, nur die Wurzel aus
> aus jedem Glied. Und die harm. Reihe ist divergent.
>
> 5. Das weiß ich nicht.
>
> 6. Ist quasi das Wurzelkriterium.
Hallo,
ein Gegenbeispiel findest du in Aufgabe 4.
>
> 7. folgt aus Definition für Grenzwerte für Funktionen.
> Ist ja nix anderes, wenn ich den Limes von f(x) mit x gegen
> a bilde, oder die Folge [mm]a_n[/mm] gegen a geht und ich [mm]f(a_n)[/mm]
> bilde.
>
> 8. Gegenbeispiel: Betragsfunktion.
Gegenbeispiel??? Die IST stetig! Du verwechselst hier wohl Stetigkeit und Differenzierbarkeit?
Gruß Abakus
Gruß Abakus
>
> 9. Wurzelfunktion ist nur in 0 nicht Diffbar, aber 0 ist
> nach Definition ausgeschlossen.
>
> 10. keine Ahnung warum, aber warum sollte es nicht gelten,
> dann wäre es ja irgendwie unsinnig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
zu 8. Die Betragsfunktion ist doch aber in 0 nicht stetig, oder?! damit ist f (wenn es die Betragsfunktion wäre auf ganz [mm] \IR [/mm] nicht stetig).
(Leider kann ich nicht ganz sehen, welche Aussage von dir zu welchem Punkt von mir gehört)
Grüße,
Ben
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Hallo Ben,
> Hallo,
> zu 8. Die Betragsfunktion ist doch aber in 0 nicht stetig,
> oder?!
Aber sicher doch, es sind linksseitiger und rechtsseitiger GW: [mm]\lim\limits_{x\uparrow 0}|x|=\lim\limits_{x\downarrow 0}|x|=0[/mm]
> damit ist f (wenn es die Betragsfunktion wäre auf
> ganz [mm]\IR[/mm] nicht stetig).
[mm]|.|[/mm] ist aber auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig!
>
> (Leider kann ich nicht ganz sehen, welche Aussage von dir
> zu welchem Punkt von mir gehört)
Das hat abakus doch unter die entsprechende Nr. geschrieben ...
>
> Grüße,
> Ben
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
dass das zur Betragsfunktion war, war nur geraten...
Okay, dann heißt das für 8. dass die Aussage richtig ist.
Nur bei 6. verstehe ich das mit dem beispiel in 4.. nicht. in 4. ist ja [mm] 1/\wurzel{n} [/mm] eine Nullfolge, jedoch wäre da [mm] 1/\wurzel[n]{n} [/mm] keine Nullfolge, da [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] gegen 1 geht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 So 10.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz doch an=1/n, [mm] 1/\wurzel{a_n} [/mm] ist ne Nullfolge, konvergiert jetzt Summe [mm] a_n?
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
also die Summe daraus konvergiert nicht würde ich sagen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 So 10.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist die Frage? "ich würd sagen" ist keine möglichkeit in Mathe!
dagegen in forum zulässig: Ich würd sagen drück dich richtig aus.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Korrigierte version:
Ist [mm] a_n [/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] eine Nullfolge ist, dann ist die Reihe [mm] \sum a_n [/mm] konvergent. |
Hallo,
also ich habe jetzt erst bemerkt, dass ich in der Aufgabenstellung nen Fehler hatte und deshalb die ganze zeit nicht richtig wusste, was du (ihr) meint.
Oben steht nun die richtige Version.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 10.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Korrigierte version:
>
> Ist [mm]a_n[/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm] eine Nullfolge ist, dann ist die Reihe
> [mm]\sum a_n[/mm] konvergent.
> Hallo,
> also ich habe jetzt erst bemerkt, dass ich in der
> Aufgabenstellung nen Fehler hatte und deshalb die ganze
> zeit nicht richtig wusste, was du (ihr) meint.
>
> Oben steht nun die richtige Version.
In dem Fall stimmt die Aussage.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Sa 09.10.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 7. folgt aus Definition für Grenzwerte für Funktionen.
> Ist ja nix anderes, wenn ich den Limes von f(x) mit x gegen
> a bilde, oder die Folge [mm]a_n[/mm] gegen a geht und ich [mm]f(a_n)[/mm]
> bilde.
Eben nicht! Die Definition sagt: [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(x) = b$ genau dann, wenn fuer alle Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $\lim x_n [/mm] = a$ gilt [mm] $\lim f(x_n) [/mm] = b$.
Hier steht ja nur, dass es eine Folge gibt die das tut. Damit ist ueberhaupt nichts ueber alle moeglichen anderen Folgen gesagt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Okay,
da hast du recht, ich habe das kleine Wort einfach übersehen.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Sa 09.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 5. Das weiß ich nicht.
Was weisst du denn ueber die Umordnung von Reihen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
also ich weiß aus dem Riemannschen Umordnungssatz, dass eine bedingt konvergente Reihe in eine zu einer beliebigen Zahl konvergenten reihe umgeordnet werden kann.
Nur weiß ich nicht, was das mir hier hilft. Die harmonische Reihe ist doch nicht bedingt konvergent, oder irre ich mich da?
Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 10.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Benjamin,
> also ich weiß aus dem Riemannschen Umordnungssatz, dass
> eine bedingt konvergente Reihe in eine zu einer beliebigen
> Zahl konvergenten reihe umgeordnet werden kann.
genau.
> Nur weiß ich nicht, was das mir hier hilft. Die
> harmonische Reihe ist doch nicht bedingt konvergent, oder
> irre ich mich da?
Ist sie nicht. Aber das muss sie nicht umbedingt sein.
Jedoch: falls sich der Grenzwert aendern soll beim Umordnen, muss sowohl die Reihe ueber nur die negativen Summanden wie auch die Reihe ueber nur die positiven Summanden divergieren.
Hier gibt es jedoch keine negativen Summanden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
also heißt das dann für mich, dass es keine konvergente Umordnung gibt, oder?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 So 10.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also heißt das dann für mich, dass es keine konvergente
> Umordnung gibt, oder?!
Genau.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Danke dir!
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