Aussage f. Grenzwerte beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll gezeigt werden:
Es seien [mm] $(x_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(y_{n}) \in \IN$ [/mm] reelle Folgen und $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x$ [/mm] und [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y.$
[/mm]
Dann gilt: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\mbox{max}\{x_{n},y_{n}\}=\mbox{max}\{x,y\}.$ [/mm] |
Hallo,
ich habe große Schwierigkeiten die zu beweisende Aussage
"Dann gilt: $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mbox{max}\{x_{n},y_{n}\}=\mbox{max}\{x,y\}$"
[/mm]
zu verstehen.
Ich interpretiere das so, dass das Maximum zweier Folgen das Maximum ihrer Grenzwerte ist...
Kann jemand die zu beweisende Aussage bitte auf "Deutsch übersetzen"?
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
es gibt zwei Folgen [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n. [/mm] Beide sind konvergent. [mm] x_n [/mm] konvergiert gegen x, [mm] y_n [/mm] gegen y.
Die Behauptung ist nun:
Voraussetzung:
Vergleicht man beide Folgen gliedweise miteinander, erhält man eine neue Folge $ [mm] z_n [/mm] $, die wie folgt definiert ist:
[mm] z_n=\text{max}(x_n,y_n)
[/mm]
Folgerung:
Auch [mm] z_n [/mm] ist konvergent und konvergiert gegen [mm] \text{max}(x,y).
[/mm]
Gut, das ist noch nicht ganz in einfachen Worten, aber vielleicht trotzdem etwas verständlicher...
Grüße
reverend
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| Aufgabe | Es soll gezeigt werden:
Es seien $ [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ und $ [mm] (y_{n}) \in \IN [/mm] $ reelle Folgen und $ x,y [mm] \in \IR [/mm] $ mit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x [/mm] $ und $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y. [/mm] $
Dann gilt: $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mbox{max}\{x_{n},y_{n}\}=\mbox{max}\{x,y\}. [/mm] $ |
Hallo rev,
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eins vorweg: bitte nur auf diese Frage reagieren, wenn es Deine Zeit wirklich zulässt, denn anscheinend wird es nächste Woche im Tutorium diese Aufgabe in der min-Variante geben und dieses Wissen sollte ich dann auf diese Aufgabe erfolgreich anwenden können.
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> es gibt zwei Folgen [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n.[/mm] Beide sind konvergent. [mm]x_n[/mm]
> konvergiert gegen x, [mm]y_n[/mm] gegen y.
>
> Die Behauptung ist nun:
>
> Voraussetzung:
> Vergleicht man beide Folgen gliedweise miteinander,
> erhält man eine neue Folge [mm]z_n [/mm], die wie folgt definiert
> ist:
>
> [mm]z_n=\text{max}(x_n,y_n)[/mm]
genau hier sind meine zwei Probleme:
1.) Sieht dieser Vergleich so
[mm] $x_{1}$ [/mm] mit [mm] $y_{1}$, $x_{2}$ [/mm] mit [mm] $y_{2}$, [/mm] usw.
oder so
[mm] $x_{1}$ [/mm] mit [mm] $y_{1}$, $x_{1}$ [/mm] mit [mm] $y_{2}$ [/mm] aus?
2.) Was ist eigentlich der Gegenstand des Vergleichs... sucht man ein bestimmtes Glied (egal ob aus [mm] $x_{n}$ [/mm] oder aus [mm] $y_{n}$), [/mm] das den höchsten Wert liefert und hiermit wird [mm] $z_{n}$ [/mm] "initialisiert" (doofer Informatiker-Jargon  )?
> Folgerung:
> Auch [mm]z_n[/mm] ist konvergent und konvergiert gegen
> [mm]\text{max}(x,y).[/mm]
>
> Gut, das ist noch nicht ganz in einfachen Worten, aber
> vielleicht trotzdem etwas verständlicher...
Ehrlich: das mit der Folge [mm] $z_{n}$ [/mm] hat das sehr schön veranschaulicht, auch wenn ich zugeben muss, dass ich von alleine niemals darauf gekommen wäre...
> Grüße
> reverend
Vielen Dank
und
Viele Grüße!
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Do 16.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der Aufgabe steht deutlich [mm] max(x_n,y_n) [/mm] wenn du für n Zahlen einsetzt sollte 1) beantwortet sein. damit auch was "verglichen" wird.
2. man will was über die neue folge [mm] z_n [/mm] aussagen:
Bsp [mm] x_n [/mm] =1,1/4,1/8,1/16...
[mm] y_n=1/2, [/mm] 1/3, 1/6,1/12
[mm] z_n=1,1/3,1/4,1/6,1/12
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Fr 17.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
max {a,b} = [mm] \bruch{a+b+|a-b|}{2}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Fr 17.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke für den Tipp, Fred.
In der nächsten Woche wird diese Aufgabe anscheinend als min-Variante im Tutorium besprochen. Wenn ich den Beweis für min sehe, sollte ich keine Schwierigkeiten mehr haben, die Variante mit max zu beweisen.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Fr 17.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Tipp, Fred.
>
> In der nächsten Woche wird diese Aufgabe anscheinend als
> min-Variante im Tutorium besprochen. Wenn ich den Beweis
> für min sehe, sollte ich keine Schwierigkeiten mehr haben,
> die Variante mit max zu beweisen.
Komisch, mit meinem Tipp ist das doch fast trivial:
max { [mm] x_n,y_n [/mm] } = $ [mm] \bruch{x_n+y_n+|x_n-y_n|}{2} \to \bruch{x+y+|x-y|}{2}$= [/mm] max { x,y }
FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Fr 17.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke, Fred!
Jetzt hast Du mir einen Grund gegeben, nächste Woche das Tutorium zu meiden! Spaß beiseite...
Gruß
el_grecco
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