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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Ausklammern Bedingte Erwartung
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Ausklammern Bedingte Erwartung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Mo 27.04.2020
Autor: ChopSuey

Aufgabe
Seien $X$ eine [mm] $\mathcal{F}$-messbare [/mm] Zufallsvariable und $Y [mm] \in \mathscr{L}^1(\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P)$. Zeigen Sie

$E[XY [mm] \mid \mathcal{F} [/mm] ] = X E[Y [mm] \mid \mathcal{F}]$ [/mm] P-f.s.

Kontext: [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist die von der Partition [mm] $A_1,...,A_n$ [/mm] von [mm] $\Omega$ [/mm] erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra $\sigma(A_1,...,A_n) [/mm] = [mm] \mathcal{F}$. [/mm]


Hey,

meine Stochastik-Kenntnisse sind leider ein wenig eingerostet. Ich habe folgendes versucht:

[mm] $E[XY\mid \mathcal{F}] [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n E[XY\mid A_i]1_{A_i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \frac{E[XY, A_i]}{P(A_i)}1_{A_i}$ [/mm]

Theoretisch wäre ich relativ schnell am Ziel, wenn ich es schaffe, hier $X$ aus [mm] $E[XY,A_i]1_{A_i}$ [/mm] herauszubekommen. Ich weiß, dass $X$ auf den [mm] $A_i$ [/mm] stückweise konstant ist, also

$ [mm] X_{\mid A_i} [/mm] = const = [mm] x_i \in \IR$ [/mm] und $ X = [mm] \sum_{i=1}^n X_{\mid A_i}1_{A_i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n x_i1_{A_i}$ [/mm]

Ich habe mir dann überlegt, die Linearität auszunutzen und bin so fortgefahren:

[mm] $\sum_{i=1}^n \frac{E[XY, A_i]}{P(A_i)}1_{A_i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n\frac{x_iE[Y,A_i]}{P(A_i)}1_{A_i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] x_iE[Y [mm] \mid A_i]1_{A_i} [/mm] = [mm] XE[Y\mid \mathcal{F}]$ [/mm]

wobei ich hier stillschweigend vorausgesetzt habe, dass die Summe bis auf die Abänderung von Nullmengen eindeutig bestimmt ist, also die Fälle [mm] $P(A_i) [/mm] = 0$ entsprechend berücksichtigt werden.

Da ich, wie gesagt, doch sehr eingerostet mit meinen Stochastik-Fertigkeiten bin, würde ich mich freuen, wenn man mir sagen kann, ob mein Ansatz zulässig ist, oder wo ich falsch liege und was ich beachten muss. Gerne auch einen Tipp, der mir ggf. an der kritischen Stelle dabei hilft, den Weg zu finden.

Danke!

LG,
ChopSuey

        
Bezug
Ausklammern Bedingte Erwartung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Mo 27.04.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kontext: [mm]\mathcal{F}[/mm] ist die von der Partition [mm]A_1,...,A_n[/mm]
> von [mm]\Omega[/mm] erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\sigma(A_1,...,A_n) = \mathcal{F}[/mm].

Das spielt (erstmal) keine Rolle. Die Aussage gilt für beliebige [mm] $\sigma$-Algebren $\mathcal{F}$ [/mm]

Wichtig wäre zu wissen: Wie habt ihr denn die bedingte Erwartung überhaupt definiert?

> [mm]E[XY\mid \mathcal{F}] = \sum_{i=1}^n E[XY\mid A_i]1_{A_i} = \sum_{i=1}^n \frac{E[XY, A_i]}{P(A_i)}1_{A_i}[/mm]

Was soll denn $E[XY, [mm] A_i]$ [/mm] sein? Das macht definitionstechnisch keinen Sinn… korrekt wäre stattdessen: [mm] $E[XY\cdot 1_{A_i}]$ [/mm]

> Theoretisch wäre ich relativ schnell am Ziel, wenn ich es
> schaffe, hier [mm]X[/mm] aus [mm]E[XY,A_i]1_{A_i}[/mm] herauszubekommen. Ich
> weiß, dass [mm]X[/mm] auf den [mm]A_i[/mm] stückweise konstant ist, also
>
> [mm]X_{\mid A_i} = const = x_i \in \IR[/mm] und [mm]X = \sum_{i=1}^n X_{\mid A_i}1_{A_i} = \sum_{i=1}^n x_i1_{A_i}[/mm]

korrekt.
  

> Ich habe mir dann überlegt, die Linearität auszunutzen
> und bin so fortgefahren:
>  
> [mm]\sum_{i=1}^n \frac{E[XY, A_i]}{P(A_i)}1_{A_i} = \sum_{i=1}^n\frac{x_iE[Y,A_i]}{P(A_i)}1_{A_i} = \sum_{i=1}^n x_iE[Y \mid A_i]1_{A_i} = XE[Y\mid \mathcal{F}][/mm]
>
> wobei ich hier stillschweigend vorausgesetzt habe, dass die
> Summe bis auf die Abänderung von Nullmengen eindeutig
> bestimmt ist, also die Fälle [mm]P(A_i) = 0[/mm] entsprechend
> berücksichtigt werden.

Also, grundsätzlich funktioniert dein Beweis in diesem Setting, aber:

1.) Die Notation [mm] $E[Z,A_i]$ [/mm] macht keinen Sinn, es muss [mm] $E[Z1_{A_i}]$ [/mm] heißen
2.) Du benötigst bereits das Resultat, dass eine [mm] $\mathcal{F}$-meßbare [/mm] Funktion für [mm] $\mathcal{F} [/mm] = [mm] \sigma(A_1,A_2,\ldots)$ [/mm] immer von der Form [mm] $\sum_{k=1}^\infty x_i1_{A_i}$ [/mm] ist (woraus dann auch die Darstellung für die bedingte Erwartung folgt, dass [mm] $E[Z|\mathcal{F}] [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{E[Z1_{A_i}]}{P(A_i)}1_{A_i}$ [/mm]

Die Eigenschaft $ E[XY [mm] \mid \mathcal{F} [/mm] ] = X E[Y [mm] \mid \mathcal{F}] [/mm] $ für [mm] $\mathcal{F}$-meßbare [/mm] $X$ kann man aber allgemeiner auch einfacher zeigen unabhängig davon wie [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] konkret aussieht. Da kann man dann natürlich auch die obige Darstellung unter 2.) nicht mehr nutzen. Daher meine Frage zu Beginn, wie ihr die bedingte Erwartung definiert habt.

Gruß,
Gono
  

Bezug
                
Bezug
Ausklammern Bedingte Erwartung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:27 Mo 27.04.2020
Autor: ChopSuey

Hallo Gono,

zunächst vielen Dank für deine Antwort.

> Hiho,
>  
> > Kontext: [mm]\mathcal{F}[/mm] ist die von der Partition [mm]A_1,...,A_n[/mm]
> > von [mm]\Omega[/mm] erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\sigma(A_1,...,A_n) = \mathcal{F}[/mm].
>  
> Das spielt (erstmal) keine Rolle. Die Aussage gilt für
> beliebige [mm]\sigma[/mm]-Algebren [mm]\mathcal{F}[/mm]
>  
> Wichtig wäre zu wissen: Wie habt ihr denn die bedingte
> Erwartung überhaupt definiert?

Als die Zufallsvariable vermöge

[mm] $E[X\mid \mathcal{F}] [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^n E[X\mid A_I]1_{A_i} [/mm] =  [mm] \sum_{i=1}^n \frac{E[X,A_i]}{P(A_i)}1_{A_i}$ [/mm]

wobei [mm] $E[X,A_i] [/mm] = [mm] E[X1_{A_i}]$. [/mm]

Entschuldige, ich hatte außer Acht gelassen, dass [mm] $E[X,A_i]$ [/mm] womöglich kein Standardbezeichnung ist.

>  
> > [mm]E[XY\mid \mathcal{F}] = \sum_{i=1}^n E[XY\mid A_i]1_{A_i} = \sum_{i=1}^n \frac{E[XY, A_i]}{P(A_i)}1_{A_i}[/mm]
>  
> Was soll denn [mm]E[XY, A_i][/mm] sein? Das macht
> definitionstechnisch keinen Sinn… korrekt wäre
> stattdessen: [mm]E[XY\cdot 1_{A_i}][/mm]

Ja, das hab ich gemeint. Ich ging davon aus, dass die Bezeichnung $E[XY, [mm] A_i]$ [/mm] (vgl. oben) hierfür Verwendet werden kann.

>  
> > Theoretisch wäre ich relativ schnell am Ziel, wenn ich es
> > schaffe, hier [mm]X[/mm] aus [mm]E[XY,A_i]1_{A_i}[/mm] herauszubekommen. Ich
> > weiß, dass [mm]X[/mm] auf den [mm]A_i[/mm] stückweise konstant ist, also
> >
> > [mm]X_{\mid A_i} = const = x_i \in \IR[/mm] und [mm]X = \sum_{i=1}^n X_{\mid A_i}1_{A_i} = \sum_{i=1}^n x_i1_{A_i}[/mm]
>  
> korrekt.
>    
> > Ich habe mir dann überlegt, die Linearität auszunutzen
> > und bin so fortgefahren:
>  >  
> > [mm]\sum_{i=1}^n \frac{E[XY, A_i]}{P(A_i)}1_{A_i} = \sum_{i=1}^n\frac{x_iE[Y,A_i]}{P(A_i)}1_{A_i} = \sum_{i=1}^n x_iE[Y \mid A_i]1_{A_i} = XE[Y\mid \mathcal{F}][/mm]
> >
> > wobei ich hier stillschweigend vorausgesetzt habe, dass die
> > Summe bis auf die Abänderung von Nullmengen eindeutig
> > bestimmt ist, also die Fälle [mm]P(A_i) = 0[/mm] entsprechend
> > berücksichtigt werden.

>  Also, grundsätzlich funktioniert dein Beweis in diesem
> Setting, aber:

Das freut mich.

>  
> 1.) Die Notation [mm]E[Z,A_i][/mm] macht keinen Sinn, es muss
> [mm]E[Z1_{A_i}][/mm] heißen

Ja, wir haben diese als Synonym definiert. Also unter [mm] $E[Z,A_i]$ [/mm] stell ich mir [mm] $E[Z1_{A_i}]$ [/mm] vor.


>  2.) Du benötigst bereits das Resultat, dass eine
> [mm]\mathcal{F}[/mm]-meßbare Funktion für [mm]\mathcal{F} = \sigma(A_1,A_2,\ldots)[/mm]
> immer von der Form [mm]\sum_{k=1}^\infty x_i1_{A_i}[/mm] ist (woraus
> dann auch die Darstellung für die bedingte Erwartung
> folgt, dass [mm]E[Z|\mathcal{F}] = \sum_{k=1}^\infty \frac{E[Z1_{A_i}]}{P(A_i)}1_{A_i}[/mm]

Das habe ich im Vorfeld bewiesen. Das hätte ich ggf. erwähnen müssen, entschuldige.

>  
> Die Eigenschaft [mm]E[XY \mid \mathcal{F} ] = X E[Y \mid \mathcal{F}][/mm]
> für [mm]\mathcal{F}[/mm]-meßbare [mm]X[/mm] kann man aber allgemeiner auch
> einfacher zeigen unabhängig davon wie [mm]\mathcal{F}[/mm] konkret
> aussieht. Da kann man dann natürlich auch die obige
> Darstellung unter 2.) nicht mehr nutzen. Daher meine Frage
> zu Beginn, wie ihr die bedingte Erwartung definiert habt.
>  
> Gruß,
>  Gono
>    

Ausgehend davon, dass ich 2). verwenden darf und dass [mm] $E[Z,A_i] [/mm] := [mm] E[Z\cdot 1_{A_i}]$ [/mm] gilt, passt es also?

Danke für deine Hilfe!

LG,
ChopSuey


Bezug
                        
Bezug
Ausklammern Bedingte Erwartung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Di 28.04.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Als die Zufallsvariable vermöge
>  
> [mm]E[X\mid \mathcal{F}] := \sum_{i=1}^n E[X\mid A_I]1_{A_i} = \sum_{i=1}^n \frac{E[X,A_i]}{P(A_i)}1_{A_i}[/mm]
>  
> wobei [mm]E[X,A_i] = E[X1_{A_i}][/mm].

Ok, also arbeitet ihr ausschließlich in dem beschriebenen Setting, denn nur dort stimmt das.
  

> Entschuldige, ich hatte außer Acht gelassen, dass [mm]E[X,A_i][/mm] womöglich kein Standardbezeichnung ist.

Macht nichts, auch wenn ich keinen Vorteil in dieser Notation sehe…

> Ausgehend davon, dass ich 2). verwenden darf und dass
> [mm]E[Z,A_i] := E[Z\cdot 1_{A_i}][/mm] gilt, passt es also?

Jo.
Man könnte vielleicht noch ein wenig ausführlicher schreiben:

Du hast $ X = [mm] \sum_{i=1}^n x_i1_{A_i} [/mm] $, damit ist [mm] $X1_{A_i} [/mm] = [mm] x_i1_{A_i}$, [/mm] insbesondere ist [mm] $1_{A_i} [/mm] = [mm] 1_{A_i}\cdot 1_{A_i}$ [/mm] und somit folgt: [mm] $E[XY1_{A_i}] [/mm] = [mm] E[x_iY1_{A_i}] [/mm] = [mm] x_iE[Y1_{A_i}]$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Ausklammern Bedingte Erwartung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:44 Di 28.04.2020
Autor: ChopSuey

Hallo Gono,

> > Ausgehend davon, dass ich 2). verwenden darf und dass
> > [mm]E[Z,A_i] := E[Z\cdot 1_{A_i}][/mm] gilt, passt es also?
>  Jo.
>  Man könnte vielleicht noch ein wenig ausführlicher
> schreiben:
>  
> Du hast [mm]X = \sum_{i=1}^n x_i1_{A_i} [/mm], damit ist [mm]X1_{A_i} = x_i1_{A_i}[/mm],
> insbesondere ist [mm]1_{A_i} = 1_{A_i}\cdot 1_{A_i}[/mm] und somit
> folgt: [mm]E[XY1_{A_i}] = E[x_iY1_{A_i}] = x_iE[Y1_{A_i}][/mm]
>  

Sehr schön! Vielen Dank für den Tipp.

> Gruß,
>  Gono

LG,
ChopSuey


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