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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 So 22.04.2007 | | Autor: | Ricochet |
| Aufgabe | Sei [mm] \circ [/mm] ein Symbol für eine zweistellige Funktion und e ein Symbol für eine Konstante. Eine Struktur (G, [mm] \circ, [/mm] e) heißt Gruppe, wenn folgende Axiome in ihr erfüllt sind:
(i) [mm] \forall [/mm] x x [mm] \circ [/mm] e = x und [mm] \forall [/mm] x e [mm] \circ [/mm] x = x
(ii) [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y x [mm] \circ [/mm] y = e [mm] \wedge [/mm] y [mm] \circ [/mm] x = e
(iii) [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \forall [/mm] z (x [mm] \circ [/mm] y) [mm] \circ [/mm] z = x [mm] \circ [/mm] (y [mm] \circ [/mm] z)
Zeigen Sie
(a) Ist [mm] \emptyset \not= [/mm] U [mm] \circ [/mm] G, so dass x [mm] \circ y^{-1} \in [/mm] U für alle x,y [mm] \in [/mm] U gilt, so ist (U, [mm] \circ [/mm] | [mm] U^{2}, [/mm] e) eine Gruppe
(b) Es gibt eine kommutative und eine nicht kommutative Gruppe. |
Habe hier diese Aufgabe, bei der komplett auf dem Schlauch stehe, könnte mir vielleicht einer umgangssprachlich erklären was ich da überhaupt zeigen soll?
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> Sei [mm]\circ[/mm] ein Symbol für eine zweistellige Funktion und e
> ein Symbol für eine Konstante. Eine Struktur (G, [mm]\circ,[/mm] e)
> heißt Gruppe, wenn folgende Axiome in ihr erfüllt sind:
> (i) [mm]\forall[/mm] x x [mm]\circ[/mm] e = x und [mm]\forall[/mm] x e [mm]\circ[/mm] x = x
> (ii) [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y x [mm]\circ[/mm] y = e [mm]\wedge[/mm] y [mm]\circ[/mm] x = e
>(iii) [mm]\forall[/mm] x [mm]\forall[/mm] y [mm]\forall[/mm] z (x [mm]\circ[/mm] y) [mm]\circ[/mm] z = x [mm]\circ[/mm] (y [mm]\circ[/mm] z)
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> (a) Ist [mm]\emptyset \not=[/mm] U [mm]\circ[/mm] G, so dass x [mm]\circ y^{-1} \in[/mm]
> U für alle x,y [mm]\in[/mm] U gilt, so ist (U, [mm]\circ[/mm] | [mm]U^{2},[/mm] e)
> eine Gruppe
> könnte mir vielleicht einer umgangssprachlich
> erklären was ich da überhaupt zeigen soll?
Hallo,
ich erkläre Dir, wie ich die Aufgabe verstehe:
Vorgegen hast Du eine Menge G mit einer Verknüpfung [mm] \circ [/mm] und einem Element e, welches die oben angegebenen Eigenschaften i), ii), iii) hat.
(Solche eine Struktur heißt Gruppe).
Hier ist nichts zu zeigen, das ist das zur Verfügung gestellte Material.
In Teilaufgabe a) kommt nun eine zweite Menge ins Spiel, die Menge U.
Zwar steht das nicht so direkt da, aber diese Menge U muß eine Teilmenge von G sein, sonst wäre ja das Gerede von [mm] \circ [/mm] und [mm] y^{-1} [/mm] im Zusammenhang mit U sinnlos.
Also haben wir eine Teilmenge [mm] U\subseteq [/mm] G mit
[mm] \emptyset\not=U\circ G:=\{u\circ g| u\in U und g\in G\}.
[/mm]
Daß diese Menge nichtleer ist, bedingt, daß sowohl G als auch U mindestens ein Element enthalten.
Die Menge U ist nun nicht irgendeine Teilmenge von G, sondern sie hat eine wichtige Eigenschaft:
Für je zwei x,y [mm] \in [/mm] U liegt auch [mm] x\circ y^{-1} [/mm] in U.
[mm] y^{-1} [/mm] bezeichnet hier das Element, welches man mit y verknüpfen muß, um e zu erhalten, das Inverse von y bzgl. [mm] \circ [/mm] (in G), welches existiert, weil wir es ja bei U mit einer Teilmenge von G zu tun haben.
Hiermit ist zusammengestellt, welches die Voraussetzungen für die Teilaufgabe a] sind.
Zeigen soll man nun: (U, [mm] \circ|_{U^{2}}, [/mm] e) ist eine Gruppe.
[mm] \circ|_{U^{2}} [/mm] bedeutet: die Verknüpfung ist dieselbe wie ganz oben in G, bloß, daß wir jetzt nur Elemente aus der (Teil-)Menge U miteinander verknüpfen.
Um zu zeigen, daß (U, [mm] \circ|_{U^{2}}, [/mm] e) eine Gruppe ist, mußt Du jetzt für (U, [mm] \circ|_{U^{2}}, [/mm] e) die Gültigkeit der drei Gruppenaxiome nachweisen, daß also
(i) [mm]\forall[/mm] [mm] x\in [/mm] U: x [mm]\circ|_{U^{2}}[/mm] e = x und e [mm]\circ|_{U^{2}}[/mm] x = x
(ii) [mm]\forall[/mm] [mm] x\in [/mm] U [mm]\exists[/mm] [mm] y\in [/mm] U: x [mm]\circ|_{U^{2}}[/mm] y = e [mm]\wedge[/mm] y [mm]\circ|_{U^{2}}[/mm] x = e
(iii) [mm]\forall[/mm] [mm] x\in [/mm] U [mm]\forall[/mm] [mm] y\in [/mm] U [mm]\forall[/mm] [mm] z\in [/mm] U: (x [mm]\circ|_{U^{2}}[/mm] y) [mm]\circ|_{U^{2}}[/mm] z = x [mm]\circ|_{U^{2}}[/mm] (y [mm]\circ|_{U^{2}}[/mm] z)
Die ist die Arbeit, die Du zu verrichten hast.
Hinweis: es ist natürlich für alle x,y [mm] \in [/mm] U x [mm]\circ|_{U^{2}}[/mm] y= x [mm]\circ[/mm] y.
Gruß v. Angela
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