Aufstellen einer Parabelgleich < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mi 08.12.2004 | | Autor: | nibrir |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgende Aufgabe erhalten und soll damit die Gleichung einer Parabel dritter Ordnung aufstellen:
Eine Parabel dritter Ordnung geht durch den Ursprung und hat in P(-2/4) einen Wendepunkt. Die Wendetangente schneidet die x-Achse in Q(4/0).
Ich brauche für die Gleichung (ax³+bx²+cx+d=0) ja nun vier Bedingungen, wenn ich das richtig sehe. Leider weiß ich nicht, wie ich die Daten aus der Aufgabe umformen soll; wäre eine Bedingung f(0)=0 und demnach d=0, weil der Graph ja durch den Urpsrung geht?
Vielleicht kann mir jemand hier auf die Sprünge helfen, ich bräuchte lediglich den Ansatz. Berechnen kann ich die Gleichung, das ging bei anderen Aufgaben auch; ich kann nur die Daten nicht in Bedingungen umformen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nibrir
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> Ich habe folgende Aufgabe erhalten und soll damit die
> Gleichung einer Parabel dritter Ordnung aufstellen:
>
> Eine Parabel dritter Ordnung geht durch den Ursprung und
> hat in P(-2/4) einen Wendepunkt. Die Wendetangente
> schneidet die x-Achse in Q(4/0).
>
> Ich brauche für die Gleichung (ax³+bx²+cx+d=0) ja nun vier
> Bedingungen, wenn ich das richtig sehe. Leider weiß ich
Ja, das ist korrekt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nicht, wie ich die Daten aus der Aufgabe umformen soll;
> wäre eine Bedingung f(0)=0 und demnach d=0, weil der Graph
> ja durch den Urpsrung geht?
>
Sehr gut!
Formal sähe das ja etwa so aus:
Wenn man für x den Wert 0 einsetzt, dann kommt für y auch 0 heraus. Also so:
[mm] $x*0^3+b*0^2+c*0+d=0$
[/mm]
Womit sofort folgt: $d=0_$
Ja, was steht denn noch in der Beschreibung?
Einfach mal alles analysieren.
Eine Parabel dritter Ordnung geht durch den Ursprung und
hat in P(-2/4) einen Wendepunkt. Die Wendetangente
schneidet die x-Achse in Q(4/0).
Daraus lässt sich schliessen, dass die Parabel durch den Punkt P gehen muss, dass also, wenn man für x den Wert -2 einsetzt, dann der Funktionswert y den Wert 4 haben muss. Das gibt die 2. Bedingung
$f(-2)=4_$
Dann steht da noch:
Eine Parabel dritter Ordnung geht durch den Ursprung und
hat in P(-2/4) einen Wendepunkt. Die Wendetangente
schneidet die x-Achse in Q(4/0).
Jupp! Die Bedingung für einen Wendepunkt ist ja: die 2. Ableitung ist = Null.
Berechne also die 2. Ableitung, setze x = 2 ein. Das gibt dann die 3. Bedingung:
$f''(-2)=0_$
Die 4. Bedingung ist etwas schwieriger zu berechnen: Die Wendetangente soll die x-Achse in Q(4,0) schneiden.
Dazu musst du einfach formal die Gleichung der Wendetangente aufstellen. Die muss ja durch die Punkte P und Q gehen. Von dieser Geraden weiss man noch, dass sie die gleiche Steigung haben muss wie die Funktion bei x=-2.
Das sind also 2 Schritte:
1) Berechnen der Wendetangente (Gerade durch P und Q)
2) Die Wendtangente hat ja die Form y=mx+e
Das m ist die Steigung der Geraden, führt also auf die Gleichung:
$m=f'(-2)$
Das wäre dann also die 4. Bedingung.
So, ich hoffe, mit diesen Paar Tipps lässt sich die Aufgabe lösen! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
hab ausversehen eine (mitteilung) geschrieben, und kann sie nicht löschen, sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
und falls es dir hilft,die Fornel, für die Wendetangente ist
t(x) = f'(xw)*((x-xw)+f(xw) während xw die Wendestelle ist.
Du weißt ja, dass der Wendepunkt bei (-2:4) liegt, also kann man es entsprechend einsätzen
4=(f'(-2))*(4-(-2))+4
Viel Spaß beim Lösen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mi 08.12.2004 | | Autor: | nibrir |
Ich danke euch beiden, die ersten drei bedingungen sind mir nun klar und ich kann sie auch nachvollziehen. Mit der vierten hab' ich jedoch immer noch so meine Schwierigkeiten.
Ich weiß beispielsweise nicht, was mir die Bedingung f(-2)=m nun konkret bringen soll, alle anderen Bedingungen sind mir beim Aufstellen der Gleichung ja sehr nützlich. Ich denke, ich muss da morgen einfach einmal meinen Lehrer fragen, vielleicht kann der mir das mit der Wendetangenten ja erklären.
Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
sorry, wegen einem verbindungsfehler, der anscheinend keiner war, aber trotzdem beim meinem *** rechner angezeigt wurde, habe ich leider doppelt gepostet...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
Dir fehlt ja ohne f'(-2) =12a-4b+c= -(2/3) eine Bedingung zur Lösung
Du weißt also, die Wendetangente geht durch den Wendepunkt, schneidet der gesuchten Graphen also
am Punkt (-2/4) und hat die gleiche Steigung, wie die Ableitung an dieser Stelle => f'(-2)=m
und da m die einzige Unbekannte der Tangentengleichung t(x) = mx+b ist, kann man durch das Ermitteln
von m den Funktionswert für die erste Ableitung an der Stelle -2 erhalten, und hätte die Bedingung:
f'(-2)=3a*(-2)²+2b*(-2)+c=m
dann hatt man die Formel zur Ermittlung der Wendetangente: t(x)= f'(xw)*(x-xw)+f(xw) während xw die wendestelle,
also xw=-2 und f'(xw) die Steigung, also m ist. nun weiß man, dass f(xw), also f(-2)=4
Dann hat man die Bedingung, dass die Tangente eine Nullstelle bei (4;0) hat, also
0= m*(4-xw)+f(xw), nun kann man die anderen werte einsetzen:
0= m*(4-(-2))+4
0 = m * 6 + 4 |-4
-4 = m * 6 | :6
-2/3 = m, und m ist ja f'(-2)
und somit hat man die Bedingung :
f'(-2)=3a*(-2)²+2b*(-2)+c=-2/3
Ich hoffe es ist einleuchtend geworden
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