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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Aufstellen Funktion 4. Grades
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Aufstellen Funktion 4. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Mo 30.01.2012
Autor: adidias91

Aufgabe
Hallo Zusammen,

bin ganz neu hier und habe direkt eine Frage ;)

Ich soll eine ganzrationale Funktion 4. Grades aufstellen die eine Doppelte Nullstelle bei x=2 hat.
Desweiteren muss diese Funktion eine Wendestelle bei x=1 haben durch die auch die funktion y=-16x+27 geht.

Folgenden Ansatz habe ich:

erst einmal die Grundfunktion aufgestellt plus 1. & 2. Ableitung

f(x) = [mm] ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e [/mm]

f'(x) = [mm] 4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d [/mm]

f''(x) = [mm] 12ax^{2}+6bx+2c [/mm]

Nullstelle:
f(x) = 0
0=16a+8b+4c+2d+e

Wendestelle ligt auf Wendetangente:
f(1) = -16+27
f(1) = 11

Wendestelle bei 1 (2. Ableitung)
f''(1) = 0
0=4a+3b+2c+d

Erste Ableitung der Funktion gleiche Steigung im Punkt 1 wie Tangente:

f'(1) = -16

Nur wie gehe ich nun weiter vor?
Ich habe mir noch gedacht dass ich ein Extrema bei x=2 habe da hier eine Doppelte Nullstelle vorliegt? Liege ich da richtig?

wenn Ja könnte ich doch sagen:
f'(2) = 0

Vielen Dank für eure Hilfe :)

Gruß
Sascha

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Aufstellen Funktion 4. Grades: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Mo 30.01.2012
Autor: Loddar

Hallo Sascha,

[willkommenmr] !!


> erst einmal die Grundfunktion aufgestellt plus 1. & 2.
> Ableitung
>  
> f(x) = [mm]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e[/mm]
>  
> f'(x) = [mm]4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d[/mm]
>  
> f''(x) = [mm]12ax^{2}+6bx+2c[/mm]

[ok]


> Nullstelle:
>  f(x) = 0
>  0=16a+8b+4c+2d+e

[ok]


> Wendestelle ligt auf Wendetangente:
>  f(1) = -16+27
>  f(1) = 11

[ok] Das ergibt eingesetzt in [mm]f(x)_[/mm] welchen Term?


> Wendestelle bei 1 (2. Ableitung)
>  f''(1) = 0
>  0=4a+3b+2c+d

[notok] Hier bist Du in der Ableitung verrutscht. Das ist die erste Ableitung, nicht die zweite.



> Erste Ableitung der Funktion gleiche Steigung im Punkt 1
> wie Tangente:
>  
> f'(1) = -16

[ok] Auch hier wieder einsetzen.


> Ich habe mir noch gedacht dass ich ein Extrema bei x=2 habe
> da hier eine Doppelte Nullstelle vorliegt?

[ok]


> wenn Ja könnte ich doch sagen:
>  f'(2) = 0

[ok]


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Aufstellen Funktion 4. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Mo 30.01.2012
Autor: adidias91

Hallo Loddar,

erstmal vielen lieben Dank für die schnwelle Antwort ;)

Natürlich, mein Fehler, dann nochmal den Wendepunkt diesmal in der 1. Ableitung:

f''(1) = 12a+6b+2c

Die Gleichung für die Wendestelle in $ f(x)_ $ ergibt:

0=$ [mm] ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e-11 [/mm] $ oder?


Die Funktion mit der Steigung der Tangente kann ich einfach so in die erste Ableitung einsetzen?
Das würde ja dann ergeben:

0 = $ [mm] 4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d+16 [/mm] $


Dann hätte ich ja 4 Gleichungen die ich mittels Determinanten oder Gauß lösen könnte oder?


Gruß

Sascha



Bezug
                        
Bezug
Aufstellen Funktion 4. Grades: x-Werte einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Mo 30.01.2012
Autor: Loddar

Hallo Sascha!


> Natürlich, mein Fehler, dann nochmal den Wendepunkt
> diesmal in der 1. Ableitung:
>  
> f''(1) = 12a+6b+2c

[ok]


> Die Gleichung für die Wendestelle in [mm]f(x)_[/mm] ergibt:
>  
> 0=[mm] ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e-11[/mm] oder?

Du musst hier doch auch $x \ = \ 1$ einsetzen.


> Die Funktion mit der Steigung der Tangente kann ich einfach
> so in die erste Ableitung einsetzen?
>  Das würde ja dann ergeben:
>  
> 0 = [mm]4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d+16[/mm]

Wie oben: x-Wert einsetzen.



> Dann hätte ich ja 4 Gleichungen die ich mittels
> Determinanten oder Gauß lösen könnte oder?

[ok] Genau.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Aufstellen Funktion 4. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Mo 30.01.2012
Autor: adidias91

So, dann hätte ich folgende Gleichungen:

1) 11=16a+8b+4c+2d+e (Wendetangente mit Wendestelle bei x=1 in f(x) eingesetzt )  

2) 0=12a+6b+2c            (Wendestelle bei x=1)

3) -16=4a+3b+2c+d     (Tangentensteigung von 16 in 1. Ableitung))

4) 0=32a+12b+4c+d     (Doppelte Nullstelle als Extrema)

Bezug
                                        
Bezug
Aufstellen Funktion 4. Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Di 31.01.2012
Autor: Diophant

Hallo,

Für x=2 lässt sich auch noch die Bedingung f(2)=0 aufstellen, da es sich um eine Nullstelle handelt. Dies ergibt die benötigte fünfte Gleichung (es sind fünf Unbekannte!).

Übrigens:

Das Extremum (Singular)
Die Extrema (Plural)


Gruß, Diophant

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