Aufgespannter Würfel < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Hume |
| Aufgabe | Zeige, dass die Vektoren [mm] \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} [/mm] und [mm] \overrightarrow{c} [/mm] einen Würfel aufspannen! Ermittle die Größen der Winkel, die von je zwei Raumdiagonalen des Würfels eingeschlossen werden!
[mm] \overrightarrow{a}=\vektor{4 \\ 3 \\ 0}, \overrightarrow{b}=\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}, \overrightarrow{c}= \vektor{0 \\ 0 \\ 5} [/mm] |
Hallo,
der erste Teil der Aufgabe ist mir eigentlich klar. Zunächst zeige ich, dass die Skalarprodukte der drei Vekoren immer $0$ ergeben, also, dass die Vektoren orthogonal zueinander sind. Danach berechne ich dann die unterschiedlichen Längen und prüfe ob diese identisch sind, da es sich ja um einen Würfel handelt.
Danach weiß ich allerdings nicht mehr genau wie es weitergeht, bzw. wie ich diese Raumdiagonalen berechnen kann. Ich hab's mal grob skizziert und glaube, dass eine Raumdiagonale schon mal [mm] $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\vektor{-4 \\ -3 \\ 5}$ [/mm] ist. Stimmt das? Wie soll ich eine zweite Raumdiagonale berechnen?
Danach kann ich ja dann mit dem Skalarprodukt einfach den eingeschlossenen Winkel ermitteln.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeige, dass die Vektoren [mm]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{c}[/mm] einen Würfel aufspannen! Ermittle
> die Größen der Winkel, die von je zwei Raumdiagonalen des
> Würfels eingeschlossen werden!
>
> [mm]\overrightarrow{a}=\vektor{4 \\ 3 \\ 0}, \overrightarrow{b}=\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}, \overrightarrow{c}= \vektor{0 \\ 0 \\ 5}[/mm]
>
> Hallo,
>
> der erste Teil der Aufgabe ist mir eigentlich klar.
> Zunächst zeige ich, dass die Skalarprodukte der drei
> Vekoren immer [mm]0[/mm] ergeben, also, dass die Vektoren orthogonal
> zueinander sind. Danach berechne ich dann die
> unterschiedlichen Längen und prüfe ob diese identisch sind,
> da es sich ja um einen Würfel handelt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danach weiß ich allerdings nicht mehr genau wie es
> weitergeht, bzw. wie ich diese Raumdiagonalen berechnen
> kann. Ich hab's mal grob skizziert
! - Aber hast Du in diese Skizze auch die gegebenen Kantenvektoren eingezeichnet und die acht Eckpunkte des Würfels beschriftet???
> und glaube, dass eine Raumdiagonale schon mal
> [mm]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\vektor{-4 \\ -3 \\ 5}[/mm]
> ist.
> Stimmt das?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Rede ist doch von den Raumdiagonalen (nicht etwa den Diagonalen der Seitenflächen: wenn Du für Deine Diagonale nur zwei Kantenvektoren verwendest, erhältst Du garantiert nur eine Diagonale einer Seitenfläche - nicht aber eine Raumdiagonale des Würfels).
Wenn [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] die Kantenvektoren des Würfels sind, dann müsste ein Diagonalenvektor gleich [mm]\vec{AG}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}[/mm] (oder, auch gut, alles mit negativen Vorzeichen) und der zweite gleich [mm]\vec{BH}=-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}[/mm] sein (jedenfalls mit der Eckenbenennung, die ich in meiner groben Skizze verwendet habe).
Wie soll ich eine zweite Raumdiagonale
> berechnen?
>
> Danach kann ich ja dann mit dem Skalarprodukt einfach den
> eingeschlossenen Winkel ermitteln.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Deswegen habe ich mir eigentlich keine Sorgen gemacht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Hume |
Danke für deine Antwort. Ich bin allerdings etwas verwirrt, da wir im Unterricht nie die Begriffe Kantenvektor oder Raumdiagonale wirklich durchgenommen haben.
Könntest du vielleicht kurz erklären wie man nun auf die Lösung $ [mm] \vec{AG}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} [/mm] $ und $ [mm] \vec{BH}=-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} [/mm] $ kommt? Wieso muss man die drei Vektoren addieren? Ich dachte bisher, man müsste einfach den Verbindungsvektor von zwei Ecken bilden.
In unserem Mathebuch steht nämlich ein ähnliches Beispiel: In einem Würfel der Kantenlänge 1 wird da der Verbindungsvektor der Eckpunkte [mm] $E_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $B=\vektor{0 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] gebildet:
[mm] $\overrightarrow{E_1B}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OE_1}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
Das wird dann als Raumdiagonale bezeichnet. Danach wird dann nach dem gleichen Prinzip eine zweite Raumdiagonale ermittelt und dann mit dem Skalarprodukt der eingeschlossene Winkel berechnet.
So wollte ich es auch bei dieser Aufgabe hier machen. Wo liegt mein Denkfehler?
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Ich habe die folgende Skizze verwendet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielleicht hilft dies, mein Geschreibe besser zu verstehen? Gemäss dieser Skizze ist eine der Raumdiagonalen z.B. [mm]\vec{AG}[/mm] und eine andere ist [mm]\vec{BH}[/mm]. Wie Du siehst, gibt es auch noch andere Raumdiagonalen: [mm]\vec{BH}[/mm] und [mm]\vec{CE}[/mm]...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 So 10.06.2007 | | Autor: | Hume |
Ahh, jetzt wird mir alles klar!
Aber kann man das auch irgendwie ohne Skizze begreifen bzw. rechnerisch bestimmen? Die gleiche Aufgabe gibt es nämlich noch zu anderen Koordinaten, und da schaffe ich es nicht mal, eine grobe Skizze zu zeichnen:
[mm] $\overrightarrow{a}=\vektor{2 \\ -14 \\ 5}$; $\overrightarrow{b}=\vektor{11 \\ -2 \\ -10}$; $\overrightarrow{c}=\vektor{-10 \\ -5 \\ -10}$
[/mm]
Othogonal sind sie schon mal. Oder kann man vielleicht das gleiche Prinzip wie oben anwenden? [mm] $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$...
[/mm]
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> Ahh, jetzt wird mir alles klar!
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> Aber kann man das auch irgendwie ohne Skizze begreifen bzw.
> rechnerisch bestimmen? Die gleiche Aufgabe gibt es nämlich
> noch zu anderen Koordinaten, und da schaffe ich es nicht
> mal, eine grobe Skizze zu zeichnen:
>
> [mm]\overrightarrow{a}=\vektor{2 \\ -14 \\ 5}[/mm];
> [mm]\overrightarrow{b}=\vektor{11 \\ -2 \\ -10}[/mm];
> [mm]\overrightarrow{c}=\vektor{-10 \\ -5 \\ -10}[/mm]
>
> Othogonal sind sie schon mal.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Richtig, die stehen paarweise aufeinander senkrecht.
Zum Aufspannen eines Würfels reicht das aber noch nicht ganz - die Beträge ("Längen") der Vektoren müssen gleich sein.
Sie sind es, rechne es nach.
Wenn Du das weißt, hast Du ja eine Vorstellung von dem Gebilde. Ein Würfel eben.
Und wenn Du diese Vorstellung hast, ist eine Skizze einfach.
Diesen Würfel kannst Du skizzieren. Mal einen Würfel. Die eine Kante ist dann eben der Vektor [mm] \vec{a}, [/mm] die anderen [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c}.
[/mm]
Da siehst Du dann, daß die Raumdiagonale sich genau wie im anderen Beispiel ergibt. Die Geometrie ist haargenau dieselbe, Würfel ist Würfel, egal wo er liegt.
Von daher solltest Du ins Grübeln kommen, wenn Du hier andere Winkel erhältst.
> Oder kann man vielleicht das
> gleiche Prinzip wie oben anwenden?
> [mm]\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}[/mm]...
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 10.06.2007 | | Autor: | Hume |
> Diesen Würfel kannst Du skizzieren. Mal einen Würfel. Die
> eine Kante ist dann eben der Vektor [mm]\vec{a},[/mm] die anderen
> [mm]\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{c}.[/mm]
Es gibt also gar keine andere Möglichkeit wenn alle drei Vektoren des Würfels othogonal sind, also kann man diese immer addieren um eine Raumdiagonale zu erhalten?
Ich habe mal die erste Aufgabe zu Ende gerechnet:
$ [mm] \overrightarrow{a}=\vektor{4 \\ 3 \\ 0}, \overrightarrow{b}=\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}, \overrightarrow{c}= \vektor{0 \\ 0 \\ 5} [/mm] $
$ [mm] \overrightarrow{a} [/mm] * [mm] \overrightarrow{b}= [/mm] -12 + 12=0$
$ [mm] \overrightarrow{b} [/mm] * [mm] \overrightarrow{c}= [/mm] 0$
$ [mm] \overrightarrow{a} [/mm] * [mm] \overrightarrow{c}= [/mm] 0$
[mm] $|\overrightarrow{a}|=\wurzel{4^2+3^2}=5$
[/mm]
[mm] $|\overrightarrow{b}|=\wurzel{(-3)^2+4^2}=5$
[/mm]
[mm] $|\overrightarrow{c}|=\wurzel{5^2}=5$
[/mm]
Damit sind die Bedingungen für einen Würfel erfüllt.
1. Raumdiagonale: $ [mm] \vec{AG}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 7 \\ 5}$ [/mm]
2. Raumdiagonale: $ [mm] \vec{BH}=-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} [/mm] = [mm] \vektor{-7 \\ 1 \\ 5}$ [/mm]
[mm] $|\vec{AG}|=5 [/mm] * [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $|\vec{BH}|=5 [/mm] * [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $\phi [/mm] = [mm] cos^{-1}(\bruch{25}{(5 * \wurzel{3})^2})=70,53°$
[/mm]
Ist das alles korrekt?
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Hallo,
alles richtig!
Gruß v. Angela
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