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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Die Zahlbereiche N, Z, Q weisen die folgende Unregelmäßigkeit auf: Sie erfüllen das
Distributivgesetz in der Form (a + b) · c = a · c + b · c, nicht jedoch „gespiegelt“ (a · b) + c =
(a + c) · (b + c). Lässt sich diese Asymmetrie beheben? Überprüfen Sie, ob die o.g., erweiterte
Gesetzesvariante mit anderen, für (N, +, ·) bekannten Rechenregeln kompatibel ist. |
Hallo zusammen,
Ich habe hier leider wieder eine Aufgabe mit der nicht nicht wirklich zurecht komme. Wäre super wenn mir jemand helfen würde. Also die Frage, ob sich diese Asymetrie beheben lässt würde ich mit Nein beantworten. Aber ich bin nicht sicher wie dies zu begründen ist. Also das gespiegelte würde doch nur gelten wenn c=0 wäre, oder?
Beim zweiten Aufgabenteil frage ich mich, was genau gemeint ist mit "bekannten Rechenregeln". Habt ihr da eine Idee?
Gruß,
Catman
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Hi,
Grundsätzlich geht es genauso wie bei der anderen Aufgabe: Indem du zum Beispiel Addition und Multiplikation so wählst, dass die Verknüpfung immer Null ergibt, gelten eine ganze Menge Gleichheiten, insbesondere auch die geforderten.
Edit: Ich habe wohl ungenau gelesen. Du sollst wohl prüfen, ob trotz den geforderten Gleichheiten noch Kommutativität, Assoziativität, etc. erfüllt sein können. Bei meinem Vorschlag wären sie dass.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Catman |
> Hi,
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> Grundsätzlich geht es genauso wie bei der anderen Aufgabe:
> Indem du zum Beispiel Addition und Multiplikation so
> wählst, dass die Verknüpfung immer Null ergibt, gelten
> eine ganze Menge Gleichheiten, insbesondere auch die
> geforderten.
>
> Edit: Ich habe wohl ungenau gelesen. Du sollst wohl
> prüfen, ob trotz den geforderten Gleichheiten noch
> Kommutativität, Assoziativität, etc. erfüllt sein
> können. Bei meinem Vorschlag wären sie dass.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Herzlichen Dank für die schnelle Antwort. Also behebe ich die Asymmetrie, indem ich einfach die Verknüpfungen + und * anders definiere?
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Ja - also wie ich die Aufgabe verstehe, ist gefragt, ob es Verknüpfungen $+$, [mm] $\cdot$ [/mm] existieren, welche das "symmetrische Distributivgesetz" erfüllen, und zudem Regeln, wie Assoziativität, Kommutativität, Existenz neutraler Elemente, etc.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 04.01.2014 | | Autor: | Catman |
> Ja - also wie ich die Aufgabe verstehe, ist gefragt, ob es
> Verknüpfungen [mm]+[/mm], [mm]\cdot[/mm] existieren, welche das
> "symmetrische Distributivgesetz" erfüllen, und zudem
> Regeln, wie Assoziativität, Kommutativität, Existenz
> neutraler Elemente, etc.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Nochmals danke. Aber die Existenz eines neutralen Elements wäre dann nicht gegeben, oder? Weil axb immer = 0 wäre und niemals gleich a oder b. Ist das so richtig formuliert?
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Ja das stimmt.
Wenn man möchte, kann man aber auch Verknüpfungen basteln, welche zusätzlich noch neutrale Elemente für beide Verknüpfungen besitzen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 05.01.2014 | | Autor: | Catman |
Danke. Hast du vllt einen Tipp, wie man vorgehen kann um solche Verknüpfungen zu finden?
Gruß
Catman
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Hi,
also in diesem Fall erinnert mich die symmetrische Distributitvität sofort an einen sogenannten ![[]](/images/popup.gif) distributiven Verband. Wenn wir für beide Verknüpfungen ein neutrales Element haben wollen, ist das nichts anderes, als dass ein Minimum und ein Maximum in der Verbandsordnung existieren. Damit wir eine solche Verknüpfung auf [mm] $\IN,\IZ,\IQ$ [/mm] definieren können, muss die zugrundeliegende Menge abzählbar sein, das heißt genauso viele Elemente enthalten, wie diese Mengen. Als Beispiel könnte man die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] zusammen mit [mm] $\IN$ [/mm] selbst betrachten. Dann definieren wir Addition als Vereinigung und Multiplikation als Durchschnitt.
Genauer gesagt ist Addition dann Bildung der direkten Summe in der Kategorie, welche zur durch die Verbandsordnung geordnete Menge gehört und Multikplikation entspricht dem direkten Produkt. Dass die Menge einen Verband bildet macht uns diese Definition möglich. Siehe auch hier
Wenn man die Existenz neutraler Elemente vernachlässigt, hat man ja nur eine ganze Menge Gleichheiten ($a+b=b+a$, $(a*b)+(a*c)=a(b+c)$, etc.), welche gelten sollen. Indem man möglichst einfache Verknüpfungen sucht (wie zum Beispiel alles auf $0$ schickt, wie es mein erster Einfall war), ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Menge dieser Gleichheiten trivialerweise erfüllt sind, am größten.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: In meiner letzten Antwort hatte ich noch eine andere Lösung gefunden, welche dieser hier ähnlich ist. Nachträglich habe ich dann gedacht, sie wäre falsch, und habe den Teil der Antwort gelöscht. Mir ist aufgefallen, dass sie aber doch korrekt ist, indem du die erste Version der Antwort anklickst, kannst du sie finden. Diese andere Lösung hatte den Vorteil, dass man die Verknüpfung direkt auf [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] gegeben hatte, und nicht wie hier nur auf einer gleichmächtigen Menge.
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