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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 02.01.2005 | | Autor: | DNemesis |
Gegeben sind eine Parabel durch f(x)= 1/3x² - 2/3x + 7/3 und eine Gerade g(x)= x + 7.
a) Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse, Nullstellen und den Scheitelpunkt der Parabel.
b) Schneiden sie sich? (schon gelöst)
c) Zeichne die beiden Funktionen! (schon gelöst)
d) Bestimme den Funktionsterm einer Geraden h(x), die paralell zu g(x) verläuft und die Parabel nur in einem Punkt berührt (Tangente). Welche Koordinaten hat der Berührpunkt?
Mein Problem besteht darin in a) die Nullstellen und den Schnittpunkt auszurechenen.
Ansatz zur Nullstelle ist glaube ich die Parabel gleich null zu setzen und dann pq Formel, oder? Muss man das mit der Geraden auch machen? Wenn ja, wie? Den Schnittpunkt mit der y-Achse kann ich garnicht bestimmen. Keine Ahnung.
und dann die d)
hier kann man doch die Steigung der Geraden übernehmen, aber wie verfährt man weiter?
Gruss und schon jetzt einmal vielen Dank, DNemesis (der Neue/Jüngste)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wenn ich den Aufgabentext der a) richtig verstanden habe, dann muss man den ganzen Kram nur von der Parabelfunktion bestimmen.
Nullstellen: richtig, Funktionsgleichung =0 setzen. Aber bevor du die p-q-Formel drauf loslassen kannst, musst du den Vorfaktor vom [mm]x^2[/mm] wegbekommen - dazu multiplizierst du die Gleichung dann mit 3 durch. Und dann erst die p-q-Formel.
Für Schnittpunkt mit y-Achse gilt immer: dort, wo eine Kurve die y-Achse schneidet, ist der x-Wert =0. Also musst du nur für das x den Wert 0 einsetzen, und erhältst den y-Wert des Schnittpunktes mit der y-Achse. Wenn du diesen mit [mm]y_S[/mm] bezeichnest, dann lautet der Schnittpunkt [mm]S_y(0/y_S)[/mm].
Scheitelpunkt: da kannst du entweder wie in der 9. Klasse mit quadratischer Ergänzung rangehen und aus der Darstellung [mm]y=a\cdot(x-d)^2+e[/mm] den Scheitelpunkt [mm]S(d/e)[/mm] ablesen, oder wissen, dass der Scheitelpunkt einer Funktion 2. Grades nichts anderes als ihr Hoch- oder Tiefpunkt ist (je nachdem, ob die Parabel nach unten, oder nach oben geöffnet ist). Dazu 1. Ableitung berechnen, =0 setzen, das liefert den x-Wert. Den y-Wert des Scheitelpunktes gibt's dann durch Einsetzen in die Funktionsgleichung [mm]f(x)[/mm].
Zu d): Richtiger Ansatz, die neue Geradengleichung heißt dann [mm]h(x)=x+b[/mm].
Damit sie die Kurve von f berührt, müsste sich beim Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen genau ein doppelter Schnittpunkt ergeben. Den erkennt man daran, dass bei der p-q-Formel der Term unter der Wurzel =0 wird.
Also: [mm]\bruch{1}{3}x^2-\bruch{2}{3}x+\bruch{7}{3}=x+b[/mm], alles auf eine Seite bringen, wieder das [mm]\bruch{1}{3}[/mm] vor dem [mm]x^2[/mm] verschwinden lassen, p-q-Formel anwenden, und dann das b so bestimmen, dass der Term unter der Wurzel (auch "Diskriminante" genannt) =0 wird.
Und mit diesem Wert für b siehst du dann auch direkt den ("doppelten") x-Wert des Berührpunktes, und den y-Wert gibt's dann auch wieder durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen - f(x) oder h(x). Und als Probe kannst du's in beiden Funktionsgleichungen einsetzen, es muss sich derselbe y-Wert ergeben.
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