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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Aufgabenblatt 1
Aufgabenblatt 1 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabenblatt 1: Klausurvorbereitung LinA1/2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 Mo 07.09.2020
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe 1
Wir betrachten die Mengen

X = {x ∈ N | [mm] x^2 [/mm] < 25} Y = {y ∈ N | 2 · y > 5} Z = {5, 6, 7}

Geben Sie folgende Mengen an:

i) P(Z)

ii) X ∪ Y , X ∩ Y , Y \ Z

ii) (X \ Z) ∪ (Z \ X) und (X \ Y ) ∪ (Y \ X)

iii) (X \ Z) ∪ (Z \ X) und (X \ Y ) ∪ (Y \ X)

iv) (X \ Y ) × (Z \ X)


Aufgabe 2
Seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie folgende Aquivalenzen:

(a) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

(b) ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A) ∧ (¬B)


Aufgabe 3
Wir betrachten zwei Abbildungen

A: [mm] R^2 [/mm] → [mm] R^2 [/mm]


[mm] \vektor{x_1 \\ x_2}\mapsto \pmat{ x_1+2x_2 \\ -x_1-3x_2 } [/mm]

B: [mm] R^2 [/mm] → [mm] R^2 [/mm]

[mm] \vektor{x_1 \\ x_2}\mapsto \pmat{2x_1+4x_2 \\ 3_x1+6x_2 } [/mm]



Aufgabe zu 3.) (Habe ich vergessen in die Aufgabenstellung hineinzuschreiben)

(a) Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren x = (x1, x2) ∈ [mm] R^2 [/mm] mit A(x) = p. Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren x ∈ [mm] R^2 [/mm] mit B(x) = p, und beschreiben Sie jeweils die Geometrie der Gesamtheit dieser Vektoren.
(b) Welche Elemente x ∈ [mm] R^2 [/mm] werden von A auf q abgebildet? Welche von B?

Die Aufgabe 2 bekomme ich soweit hin, mit Hilfe von Wahrheitstafeln zeige ich die Äquivalenzen. Soll ich meine Lösungen als Dateianhang hochladen, um sie korrigieren zu lassen ? Weil Wahrheitstafeln hier in Forum aufzustellen ist ja leider nicht möglich.

Bei Aufgabe 1 komme ich nur mit der ersten Teilaufgabe zurecht. Die Potenzmenge von Z ist P = {{5},{6},{7},{5,6},{6,7},{5,6,7}}.

Meine Frage zu Aufgabe 1  wäre, wie ich die Menge Y ausschreibe, da dies ja eine unendliche Menge ist. Oder verstehe ich das falsch ?

Große Probleme habe ich bei der Aufgabe 3. Wie gehe ich sowas an ?

Über eine schnelle Antwort würde ich mich sehr freuen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Aufgabenblatt 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Mo 07.09.2020
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Wir betrachten die Mengen
>  
> X = {x ∈ N | [mm]x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

< 25} Y = {y ∈ N | 2 · y > 5} Z = {5,

> 6, 7}
>  
> Geben Sie folgende Mengen an:
>  
> i) P(Z)
>  
> ii) X ∪ Y , X ∩ Y , Y \ Z
>  
> ii) (X \ Z) ∪ (Z \ X) und (X \ Y ) ∪ (Y \ X)
>  
> iii) (X \ Z) ∪ (Z \ X) und (X \ Y ) ∪ (Y \ X)
>  
> iv) (X \ Y ) × (Z \ X)
>  
> Seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie folgende
> Aquivalenzen:
>  
> (a) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
>  
> (b) ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A) ∧ (¬B)
>  
> Wir betrachten zwei Abbildungen
>  
> A: [mm]R^2[/mm] → [mm]R^2[/mm]
>  
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}\mapsto \pmat{ x_1+2x_2 \\ -x_1-3x_2 }[/mm]
>  
> B: [mm]R^2[/mm] → [mm]R^2[/mm]
>  
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}\mapsto \pmat{2x_1+4x_2 \\ 3_x1+6x_2 }[/mm]
>  
>
> Aufgabe zu 3.) (Habe ich vergessen in die Aufgabenstellung
> hineinzuschreiben)
>  
> (a) Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren x = (x1, x2) ∈
> [mm]R^2[/mm] mit A(x) = p. Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren x
> ∈ [mm]R^2[/mm] mit B(x) = p, und beschreiben Sie jeweils die
> Geometrie der Gesamtheit dieser Vektoren.
>  (b) Welche Elemente x ∈ [mm]R^2[/mm] werden von A auf q
> abgebildet? Welche von B?


Willkommen im Forum.


Ich gehe davon aus, dass die Vektoren p und q gegeben sind. Wie lauten die ??

>  
> Die Aufgabe 2 bekomme ich soweit hin, mit Hilfe von
> Wahrheitstafeln zeige ich die Äquivalenzen. Soll ich meine
> Lösungen als Dateianhang hochladen, um sie korrigieren zu
> lassen ?

Ja, das kannst Du machen.

> Weil Wahrheitstafeln hier in Forum aufzustellen
> ist ja leider nicht möglich.
>
> Bei Aufgabe 1 komme ich nur mit der ersten Teilaufgabe
> zurecht. Die Potenzmenge von Z ist P =
> {{5},{6},{7},{5,6},{6,7},{5,6,7}}.

Das stimmt nicht. Zwei Mengen fehlen in der Potenzmenge, nämlich [mm] \emptyset [/mm] und [mm] $\{5,7\}.$ [/mm]

>  
> Meine Frage zu Aufgabe 1  wäre, wie ich die Menge Y
> ausschreibe, da dies ja eine unendliche Menge ist. Oder
> verstehe ich das falsch ?

Y ist unendlich: für $y [mm] \in \IN$ [/mm] gilt: 2y>5 [mm] \gdw [/mm] y>5/2=2,5, also:

   [mm] $Y=\{3,4,5,6,... \}.$ [/mm]

>
> Große Probleme habe ich bei der Aufgabe 3. Wie gehe ich
> sowas an ?


Schreibe die Aufgabenstellung vollständig hin. Was sind p und q ?
Dann sehen wir weiter.

>
> Über eine schnelle Antwort würde ich mich sehr freuen.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Aufgabenblatt 1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 Mo 07.09.2020
Autor: ireallydunnoanything

Ja, die Vektoren in der Aufgabe 3 lauten p = (1, 3/2) und q = (1/2, 1/2).

Stimmt, in der Potenzmenge habe ich zwei Elemente vergessen, die leere Menge ist ja immer enthalten und das letzte Element habe ich einfach vergessen.

Wie kann ich die unendliche Menge Y darstellen bzw. mit den anderen Mengen in Verbindung bringen ? Irgendwie habe ich da gerade eine "lange Leitung".

Vielen Dank für die schnelle Antwort und bis gleich.



Bezug
                        
Bezug
Aufgabenblatt 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Mo 07.09.2020
Autor: fred97


> Ja, die Vektoren in der Aufgabe 3 lauten p = (1, 3/2) und q
> = (1/2, 1/2).

Dann haben wir z.B.

$A(x)=q [mm] \gdw x_1+2x_2=1/2$ [/mm] und [mm] $-x_1-3x_2=1/2$ [/mm]

Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Das solltest Du lösen können.


>  
> Stimmt, in der Potenzmenge habe ich zwei Elemente
> vergessen, die leere Menge ist ja immer enthalten und das
> letzte Element habe ich einfach vergessen.
>
> Wie kann ich die unendliche Menge Y darstellen bzw. mit den
> anderen Mengen in Verbindung bringen ? Irgendwie habe ich
> da gerade eine "lange Leitung".
>  

Wir hatten [mm] $Y=\{3,4,5,... \}$. [/mm] Weiter ist [mm] $X=\{1,2,3,4\}.$ [/mm]

Damit ist z.B. $X [mm] \cup [/mm] Y= [mm] \IN$ [/mm] und $X [mm] \cap Y=\{3,4\}.$ [/mm]

Kommst Du damit weiter ?

> Vielen Dank für die schnelle Antwort und bis gleich.
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Aufgabenblatt 1: spätere Bearbeitung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:27 Mo 07.09.2020
Autor: ireallydunnoanything

Vielen Dank erstmal.

Ich werde dieses Aufgabenblatt später weiter bearbeiten. Auch kann ich leider erst morgen die Wahrheitstabellen hochladen, da mir vorher kein Scanner zur Verfügung steht.

Werde in der Zwischenzeit zwei weitere Aufgabenblätter hier posten, habe noch 9 Tage Zeit, um alle durchzugehen.



Bezug
                                        
Bezug
Aufgabenblatt 1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:16 Mo 07.09.2020
Autor: fred97


> Vielen Dank erstmal.
>
> Ich werde dieses Aufgabenblatt später weiter bearbeiten.
> Auch kann ich leider erst morgen die Wahrheitstabellen
> hochladen, da mir vorher kein Scanner zur Verfügung steht.
>
> Werde in der Zwischenzeit zwei weitere Aufgabenblätter
> hier posten, habe noch 9 Tage Zeit, um alle durchzugehen.

Noch eine Bemerkung: poste jede Aufgabe in einer eigenen Diskussion.

Ganze Aufgabenblätter sind nicht besonders geeignet.

>
>  


Bezug
        
Bezug
Aufgabenblatt 1: einzelne Aufgaben
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Mo 07.09.2020
Autor: ireallydunnoanything

Alles klar,

werde in Zukunft einzelne Aufgaben in seperaten Beiträgen posten.

Bei Aufgabenblatt 2 habe ich dies noch nicht getan, da die Nachricht erst später kam.

Bitte daher um Nachsicht und hoffe, dass ich trotzdem eine Antwort erhalte.

Vielen Dank !

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