Aufgabe zu Differentialformen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass im [math]\mathbb{R}^n[/math] gilt:
[math]df^1\wedge df^2\wedge\cdots \wedge df^k=\sum_{1\leq i_{1}<\cdots |
Ist die Lösung so in Ordnung:
Es gilt [math]df^1\wedge df^2\wedge\cdots \wedge df^k(\zeta_{1},\zeta_{2},\cdots,\zeta_{k})=\sum_{1\leq i_{1}<\cdots
Außerdem ist
[math]df^1\wedge df^2\wedge\cdots \wedge df^k(e_{i_{1}},e_{i_{2}},\cdots,e_{i_{k}})=\det \pmat{ df^1(e_{i_{1}})& \cdots &df^k(e_{i_{1}}) \\ \vdots & \ddots \\ df^k(e_{i_{1}})&\cdots &df^k(e_{i_{k}})}=\det \pmat{ \frac{\partial f^1} {\partial x^{i_{1}}} & \cdots &\frac{\partial f^1} {\partial x^{i_{k}}} \\ \vdots & \ddots \\ \frac{\partial f^k} {\partial x^{i_{1}}} &\cdots &\frac{\partial f^k} {\partial x^{i_{k}}} }[/math], wegen [math]df^j(e_{i_{l}})=\frac {\partial f^j} {\partial x^{i_{l}}[/math], für [math]1\leq j\leq k[/math] und [math]1\leq l\leq n[/math] ([math]df^{j}(e_{i_{l}})=\sum_{s=1}^{n}\frac {\partial f^j} {\partial x^{s}}\cdot e^{s}_{i_{l}}=\frac {\partial f^j}{\partial x^{i_{l}}}\cdot e^{i_{l}}_{i_{l}}=\frac {\partial f^j} {\partial x^{i_{l}}[/math]). Jetzt nur noch einsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Di 30.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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