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| Aufgabe | | [mm] y'(x) = 2xy + x [/mm] |
Hallo zusammen!
Hab ich richtig gerechnet?
1.Schritt Betrachte [mm] y'(x) = 2xy [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{y'}{y} [/mm] = [mm] 2x [/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm] ln(y) = x^2 + c [/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm] y [/mm] = [mm] e^{x^2+c} [/mm] = [mm]e^{x^2} \cdot e^c [/mm] = [mm]e^{x^2} \cdot \hat c [/mm]
2. Schritt Variation der Konstanten
[mm]y = e^{x^2} \cdot u(x)[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]y'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \cdot u(x) + e^{x^2} \cdot u'(x) = 2xy + x = 2x \cdot e^{x^2} \cdot u(x) + x [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] e^{x^2} \cdot u'(x) = x \gdw u'(x) = x \cdot e^{-x^2} \gdw u(x) = \integral_{}^{}{x \cdot e^{-x^2} dx} [/mm]
Substitution [mm] z = -x^2 ; -2x\,dx = dz [/mm] liefert:
[mm] -\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{e^z \, dz} = -\bruch{1}{2} \cdot e^{-x^2} + c [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] y = e^{x^2} \left( -\bruch{1}{2} e^{-x^2} + c \right) = -\bruch{1}{2} + ce^{x^2} [/mm]
Ist das so richtig?
LG fagottator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Mo 09.08.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo fagottator,
ja das ist richtig. Kannst Du auch leicht nachprüfen, indem Du die Lösung in die Gleichung einsetzt.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo fagottator!
Man kommt hier auch schneller durch Trennung der Variablen ans Ziel:
$$y' \ = \ 2xy + x \ = \ x*(2y+1)$$
[mm] $$\bruch{y'}{2y+1} [/mm] \ = \ x$$
[mm] $$\bruch{2y'}{2y+1} [/mm] \ = \ 2x$$
Nun Integration ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fagottator |
Ich hatte das wie oben gezeigt gerechnet, weil das Beispiel aus der Vorlesung stammt und direkt davor wurde dieses Vorgehen eingeführt. Aber trotzdem danke für den Hinweis! Das schärft ja nur den Blick dafür, dass manche Aufgaben schnellerzu lösen sind, wenn man einen zweiten Blick riskiert bevor man losrechnet. 
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