Aufgabe: Monotone Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f: \IR \to \IR^{+}\cup{\infty} [/mm] messbar und [mm]\integral{f(x) d\lambda} < \infty [/mm] Zeigen Sie, dass für [mm] \alpha > 0 [/mm] gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty }n^{-\alpha}f(nx) <\infty \ \ \ \ \ \lambda-fast \ ueberall[/mm] |
Hi,
leider komme ich nicht so recht weiter. In der Aufgabenübeschrift steht ja bereits, dass man den Satz der monotonen Konvergenz verwenden sollte. Jetzt weiß ich leider nicht so recht wie ich meine monotone Funktionsfolge definieren soll um ans Ziel zu gelangen. Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben und ich versuch mich dann mal daran weiter.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Sa 08.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
beachte zunächst, dass die Trafo-Formel für alle natürlichen Zahlen n
$ [mm] n\integral{f(nx) \mathrm{d}\lambda(x)} [/mm] =c < [mm] \infty [/mm] $ mit einem $c [mm] \in \IR$ [/mm] (unabhängig von n) liefert.
Die Behauptung folgt nun aus dem Satz über mon. Konvergenz, und $ [mm] \summe_{n=1}^{ \infty }n^{-\alpha-1}<\infty$, [/mm] wie man mit dem Integralvergleichskriterium leicht überprüft.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Sa 08.11.2014 | | Autor: | MeineKekse |
Top, danke.
Ich glaube damit bekomme ich es hin.
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