Aufgabe Erwartungswert < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mi 08.03.2006 | | Autor: | thomasXS |
| Aufgabe | 1.) Glückspielapparat mit zwei rotierenden Scheiben:
Aufbau der Scheiben: 1 rote, 4 grüne und 5 blaue Felder Zufallsgröße sei der Gewinn nach folgendem Plan: {rr} = 10 DM {gg} = 2 DM; {bb}= 1 DM; sonst kein Gewinn
a) Bestimmen Sie eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung!
b) Welche durchschnittliche Auszahlung ergit sich pro spiel?
2.) Bei einem Würfelspiel wird mit 2 Würfeln geworfen. Die Augensummen 2 oder 12 gewinnen das 10-fache der Augenzahl in DM, die Augensummen 3 oder 11 das 5-fache, die Augensummen 4 oder 10 das 3-fache. Andernfalls erfolgt keine Gewinnzahlung. Wie groß ist der Erwartungswert des Gewinns? Welcher Spieleinsatz wäre annehmbar?
|
Guten Abend,
zur Aufgabe 1 meine Ansätze:
Zufallsgröße "Auszahlung"
TAbelle:
x= 0 => P(X=x)= [mm] \bruch{32}{45}
[/mm]
x= 1 => P(X=x)= [mm] \bruch{16}{45}
[/mm]
x=2 => P(X=x)= [mm] \bruch{6}{45}
[/mm]
x=10 => P(X=x)= [mm] \bruch{10}{45}
[/mm]
[mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{0 + 16 + 12 + 100}{44} [/mm] = 2,844
Durchschnittle Auszahlung: 2,84 DM Kann das überhaupt sein?
Zu der zweiten Teilfrage finde ich keine Antwort.
Nebenrechnung:
P(X=1)= [mm] \bruch{ \vektor{3 \\ 2} \vektor{5 \\ 5}}{ \vektor{8 \\ 5} }
[/mm]
zur Aufgabe 2:
Hier bin ich mir leider sehr unsicher:
Zufallsgröße: "Auszahlung"
um die Tabelle aufzustellen benötige ich erstmal die Wahrscheinlichkeiten:
"2 [mm] \vee [/mm] 12"
"3 fache Auszahlung"
P(X=3)= [mm] \bruch{ \vektor{36 \\ 2} \vektor{34 \\ 0}}{ \vektor{36 \\ 2} } [/mm] + [mm] \bruch{ \vektor{36 \\ ??} \vektor{0 \\ ??}}{ \vektor{36 \\ 2} } [/mm]
Könnte mir hier bitte jemand einen Ansatz geben? Hier komme ich nicht mehr weiter!
Danke für eure Hilfe!
MFG
ThomasXS
|
|
| |
|
Hi, Thomas,
> 1.) Glückspielapparat mit zwei rotierenden Scheiben:
> Aufbau der Scheiben: 1 rote, 4 grüne und 5 blaue Felder
> Zufallsgröße sei der Gewinn nach folgendem Plan: {rr} = 10
> DM {gg} = 2 DM; {bb}= 1 DM; sonst kein Gewinn
>
> a) Bestimmen Sie eine Tabelle der
> Wahrscheinlichkeitsverteilung!
> b) Welche durchschnittliche Auszahlung ergit sich pro
> spiel?
>
>
> 2.) Bei einem Würfelspiel wird mit 2 Würfeln geworfen. Die
> Augensummen 2 oder 12 gewinnen das 10-fache der Augenzahl
> in DM, die Augensummen 3 oder 11 das 5-fache, die
> Augensummen 4 oder 10 das 3-fache. Andernfalls erfolgt
> keine Gewinnzahlung. Wie groß ist der Erwartungswert des
> Gewinns? Welcher Spieleinsatz wäre annehmbar?
>
> zur Aufgabe 1 meine Ansätze:
>
> Zufallsgröße "Auszahlung"
>
> TAbelle:
>
> x= 0 => P(X=x)= [mm]\bruch{32}{45}[/mm]
> x= 1 => P(X=x)= [mm]\bruch{16}{45}[/mm]
> x=2 => P(X=x)= [mm]\bruch{6}{45}[/mm]
> x=10 => P(X=x)= [mm]\bruch{10}{45}[/mm]
Versteh' ich nicht! Vor allem beträgt die Summe Deiner Wahrscheinlichkeiten mehr als 1 = 100%. Das kann NIE stimmen!
Also: Die Scheiben rotieren unabhängig voneinander!
Daher ist z.B. P(X=10) = P(rr) = [mm] \bruch{1}{10}* \bruch{1}{10} [/mm] = 0,01
P(X=2) = P(gg) = 0,4*0,4=0,16
P(X=1) = P(bb) = 0,5*0,5 = 0,25
P(X=0) = 1 - (0,01+0,16+0,25) = 0,58
b) Durchschnittliche Auszahlung = Erwartungswert
= 10*0,01 + 2*0,16 + 1*0,25 + 0*0,58 = 0,67
> Zu der zweiten Teilfrage finde ich keine Antwort.
>
> Nebenrechnung:
> P(X=1)= [mm]\bruch{ \vektor{3 \\ 2} \vektor{5 \\ 5}}{ \vektor{8 \\ 5} }[/mm]
Und was rechnest Du hier? Auf welche Frage bezieht sich denn diese Rechnung?
> zur Aufgabe 2:
>
> Hier bin ich mir leider sehr unsicher:
>
> Zufallsgröße: "Auszahlung"
>
> um die Tabelle aufzustellen benötige ich erstmal die
> Wahrscheinlichkeiten:
>
> "2 [mm]\vee[/mm] 12"
> "3 fache Auszahlung"
>
> P(X=3)= [mm]\bruch{ \vektor{36 \\ 2} \vektor{34 \\ 0}}{ \vektor{36 \\ 2} }[/mm]
> + [mm]\bruch{ \vektor{36 \\ ??} \vektor{0 \\ ??}}{ \vektor{36 \\ 2} }[/mm]
Also: Mit dem Binomialkoeffizienten hat diese Aufgabe ja nun gar nichts zu tun!
Zunächst mal musst Du Dir überlegen, welche Augensummen S beim Werfen zweier Würfel überhaupt rauskommen können.
Dann überlegst Du Dir zu jeder davon die zugehörige Wahrscheinlichkeit.
Ich geb' Dir mal drei Beispiele:
P(S=2) = [mm] P((1;1))=\bruch{1}{36}
[/mm]
P(S=4) = P((1;3);(3;1);(2;2)) = [mm] \bruch{3}{36}
[/mm]
P(S=5) = P((1;4);(4;1);(2;3);(3;2)) = [mm] \bruch{4}{36}
[/mm]
...
Dann ordnest Du jeder Augensumme S den oben angegebenen Gewinn X zu; z.B. gehört zu S=2 der Gewinn X=2*10 = 20, zu S=12 der Gewinn X=120.
Und so kriegst Du dann die gewünschte Wahrscheinlichkeitsverteilung, z.B.:
P(X=20) = P(S=2) = [mm] \bruch{1}{36}
[/mm]
...
P(X=12) = P(S=4) = [mm] \bruch{3}{36}
[/mm]
Und so weiter!
Das ist zwar etwas "überlegungsintensiv", aber eigentlich nicht schwierig!
Mach's mal!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
