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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #76 (IMC),(LinA)
Aufgabe #76 (IMC),(LinA) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #76 (IMC),(LinA): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 17:21 Fr 29.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum und [mm] $A:V\to [/mm] V$ ein linearer Operator mit [mm] $A^2=E$. [/mm]

(a) Man zeige, dass $A$ diagonalisierbar ist.
(b) Man finde die größtmögliche Anzahl paarweise kommutierender, linearer Operatoren [mm] $A:V\to [/mm] V$ mit [mm] $A^2=E$. [/mm]


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #76 (IMC),(LinA): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:57 Mi 03.08.2005
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

a) Das Minimalpolynom lautet [mm] $MP_A(t)=(t-1)(t+1)$ [/mm] (oder [mm] $MP_A(t)=t-1$ [/mm] oder [mm] $MP_A(t)=t+1$), [/mm] zerfällt also in paarweise verschiedene Linearfaktoren.

b) Solche Operatoren sind simultan diagonalisierbar, siehe hier. Als Diagonalmatrizen kommen nach a) nur Matrizen in Frage, die $1$en und $-1$en auf der Diagonalen haben. Dies sind maximal [mm] $2^n$ [/mm] Stück.

Liebe Grüße
Stefan

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Bezug
Aufgabe #76 (IMC),(LinA): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Mi 03.08.2005
Autor: Hanno

Hallo Stefan!

Zu (a)

Es kann doch auch $A=E$ oder $A=-E$ sein, oder? Dann wäre [mm] $\mu [/mm] _A(x)=x-1$ bzw. [mm] $\mu [/mm] _A(x)=x+1$. Das ändert aber natürlich an der Tatsache, dass $A$ diagonalisierbar ist, nichts.

Zu (b)

Die Lösung ist richtig. Ich selbst konnte das nicht lösen, werde mir aber gleich mal den Link ansehen, den du gleich mitgepostet hast [danke!].


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe #76 (IMC),(LinA): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:37 Mi 03.08.2005
Autor: Hanno

Hallo Stefan!

Das ist wirklich höchst interessant, die Sache mit der simultanen Diagonalisierbarkeit! Danke nochmals für den Link zum Beweis (welchen ich jetzt durchgelesen habe), ich werde mir diesen Sachverhalt [hoffentlich] auf Dauer merken!

Eine Frage noch: die Aussage gilt aber doch für alle $K$-Räume, oder? Entweder ich habe Tomaten auf den Augen oder es gibt wirklich nichts, was die Eigenschaften der reellen Zahlen forderte.


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe #76 (IMC),(LinA): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Mi 03.08.2005
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Auch hier hast du vollkommen Recht mit deiner Anmerkung; ich werde meinen Fehler jetzt ebenfalls mal verbessern, Danke.

War wohl doch etwas zu spät gestern... ;-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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